Theorem mapsspm 6856

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6843	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4		elmapi 6844	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
5		fpmg 6848	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	6	ssriv 3230	1 ⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ⊆ wss 3199  ⟶wf 5324  (class class class)co 6023   ↑_𝑚 cmap 6822   ↑_pm cpm 6823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-map 6824  df-pm 6825

This theorem is referenced by:  mapsspw  6858