Theorem mapsspm 6957

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6937	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4		elmapi 6938	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
5		fpmg 6949	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	6	ssriv 3252	1 ⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟶wf 5371  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916   ↑_pm cpm 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-map 6918  df-pm 6919

This theorem is referenced by:  mapsspw  6959