Theorem mapsspm 6684

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6671	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4		elmapi 6672	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
5		fpmg 6676	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	6	ssriv 3161	1 ⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131  ⟶wf 5214  (class class class)co 5877   ↑_𝑚 cmap 6650   ↑_pm cpm 6651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652  df-pm 6653

This theorem is referenced by:  mapsspw  6686