Theorem muladd 8339

Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
muladd	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )

Proof of Theorem muladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7935	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		adddi 7942	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
3	2	3expb 1204	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
4	1, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
5		adddir 7947	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
6	5	3expa 1203	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
7	6	adantrr 479	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
8		adddir 7947	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
9	8	3expa 1203	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
10	9	adantrl 478	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
11	7, 10	oveq12d 5892	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) )
12		mulcl 7937	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) e. CC )
13	12	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
14		mulcl 7937	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) e. CC )
15	14	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
16		mulcl 7937	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. D ) e. CC )
17		mulcl 7937	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B x. D ) e. CC )
18		addcl 7935	. . . . . . 7 |- ( ( ( A x. D ) e. CC /\ ( B x. D ) e. CC ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ D e. CC ) /\ ( B e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
20	19	anandirs 593	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ D e. CC ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
21	20	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
22	13, 15, 21	add32d 8123	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) + ( B x. C ) ) )
23		mulcom 7939	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B x. D ) = ( D x. B ) )
24	23	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. D ) = ( D x. B ) )
25	24	oveq2d 5890	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( B x. D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( D x. B ) ) )
26	16	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
27	17	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. D ) e. CC )
28	13, 26, 27	addassd 7978	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( B x. D ) ) = ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) )
29		mulcl 7937	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. CC /\ B e. CC ) -> ( D x. B ) e. CC )
30	29	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( D x. B ) e. CC )
31	30	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( D x. B ) e. CC )
32	13, 26, 31	add32d 8123	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( D x. B ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) )
33	25, 28, 32	3eqtr3d 2218	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) )
34		mulcom 7939	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
35	34	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
36	33, 35	oveq12d 5892	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) + ( B x. C ) ) = ( ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) + ( C x. B ) ) )
37		addcl 7935	. . . . . 6 |- ( ( ( A x. C ) e. CC /\ ( D x. B ) e. CC ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
38	12, 30, 37	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ C e. CC ) /\ ( B e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
39	38	an4s 588	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
40		mulcl 7937	. . . . . 6 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C x. B ) e. CC )
41	40	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( C x. B ) e. CC )
42	41	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C x. B ) e. CC )
43	39, 26, 42	addassd 7978	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) + ( C x. B ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
44	22, 36, 43	3eqtrd 2214	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
45	4, 11, 44	3eqtrd 2214	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   CCcc 7808   + caddc 7813   x. cmul 7815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-addcl 7906  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-distr 7914

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877

This theorem is referenced by:  mulsub  8356  muladdi  8364  muladdd  8371  sqabsadd  11059  demoivreALT  11776