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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > muladd | Unicode version |
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.) |
Ref | Expression |
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muladd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | addcl 7935 |
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2 | adddi 7942 |
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3 | 2 | 3expb 1204 |
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4 | 1, 3 | sylan 283 |
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5 | adddir 7947 |
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6 | 5 | 3expa 1203 |
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7 | 6 | adantrr 479 |
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8 | adddir 7947 |
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9 | 8 | 3expa 1203 |
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10 | 9 | adantrl 478 |
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11 | 7, 10 | oveq12d 5892 |
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12 | mulcl 7937 |
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13 | 12 | ad2ant2r 509 |
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14 | mulcl 7937 |
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15 | 14 | ad2ant2lr 510 |
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16 | mulcl 7937 |
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17 | mulcl 7937 |
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18 | addcl 7935 |
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19 | 16, 17, 18 | syl2an 289 |
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20 | 19 | anandirs 593 |
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21 | 20 | adantrl 478 |
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22 | 13, 15, 21 | add32d 8123 |
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23 | mulcom 7939 |
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24 | 23 | ad2ant2l 508 |
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25 | 24 | oveq2d 5890 |
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26 | 16 | ad2ant2rl 511 |
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27 | 17 | ad2ant2l 508 |
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28 | 13, 26, 27 | addassd 7978 |
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29 | mulcl 7937 |
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30 | 29 | ancoms 268 |
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31 | 30 | ad2ant2l 508 |
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32 | 13, 26, 31 | add32d 8123 |
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33 | 25, 28, 32 | 3eqtr3d 2218 |
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34 | mulcom 7939 |
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35 | 34 | ad2ant2lr 510 |
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36 | 33, 35 | oveq12d 5892 |
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37 | addcl 7935 |
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38 | 12, 30, 37 | syl2an 289 |
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39 | 38 | an4s 588 |
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40 | mulcl 7937 |
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41 | 40 | ancoms 268 |
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42 | 41 | ad2ant2lr 510 |
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43 | 39, 26, 42 | addassd 7978 |
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44 | 22, 36, 43 | 3eqtrd 2214 |
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45 | 4, 11, 44 | 3eqtrd 2214 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-ext 2159 ax-addcl 7906 ax-mulcl 7908 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-distr 7914 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-rex 2461 df-v 2739 df-un 3133 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-br 4004 df-iota 5178 df-fv 5224 df-ov 5877 |
This theorem is referenced by: mulsub 8356 muladdi 8364 muladdd 8371 sqabsadd 11059 demoivreALT 11776 |
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