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Theorem muladd 8339
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 7935 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 adddi 7942 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  ( C  +  D ) )  =  ( ( ( A  +  B )  x.  C )  +  ( ( A  +  B )  x.  D
) ) )
323expb 1204 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D
) )  =  ( ( ( A  +  B )  x.  C
)  +  ( ( A  +  B )  x.  D ) ) )
41, 3sylan 283 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  +  B
)  x.  C )  +  ( ( A  +  B )  x.  D ) ) )
5 adddir 7947 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) )
653expa 1203 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )
76adantrr 479 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )
8 adddir 7947 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  D )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) )
983expa 1203 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  x.  D )  =  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )
109adantrl 478 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  D
)  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )
117, 10oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  x.  C )  +  ( ( A  +  B
)  x.  D ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) ) )
12 mulcl 7937 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
1312ad2ant2r 509 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  CC )
14 mulcl 7937 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
1514ad2ant2lr 510 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  CC )
16 mulcl 7937 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
17 mulcl 7937 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
18 addcl 7935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  D
)  e.  CC  /\  ( B  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) )  e.  CC )
1916, 17, 18syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
2019anandirs 593 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) )  e.  CC )
2120adantrl 478 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
2213, 15, 21add32d 8123 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( B  x.  C ) ) )
23 mulcom 7939 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  =  ( D  x.  B ) )
2423ad2ant2l 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  D
)  =  ( D  x.  B ) )
2524oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) )  +  ( D  x.  B ) ) )
2616ad2ant2rl 511 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  D
)  e.  CC )
2717ad2ant2l 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  CC )
2813, 26, 27addassd 7978 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( B  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) ) )
29 mulcl 7937 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( D  x.  B
)  e.  CC )
3029ancoms 268 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( D  x.  B
)  e.  CC )
3130ad2ant2l 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( D  x.  B
)  e.  CC )
3213, 26, 31add32d 8123 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( D  x.  B ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
3325, 28, 323eqtr3d 2218 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
34 mulcom 7939 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
3534ad2ant2lr 510 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
3633, 35oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) )  +  ( C  x.  B ) ) )
37 addcl 7935 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  CC  /\  ( D  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B
) )  e.  CC )
3812, 30, 37syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  e.  CC )
3938an4s 588 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  e.  CC )
40 mulcl 7937 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
4140ancoms 268 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
4241ad2ant2lr 510 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( C  x.  B
)  e.  CC )
4339, 26, 42addassd 7978 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
4422, 36, 433eqtrd 2214 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
454, 11, 443eqtrd 2214 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148  (class class class)co 5874   CCcc 7808    + caddc 7813    x. cmul 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-addcl 7906  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-distr 7914
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877
This theorem is referenced by:  mulsub  8356  muladdi  8364  muladdd  8371  sqabsadd  11059  demoivreALT  11776
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