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Theorem demoivreALT 12398

Description: Alternate proof of demoivre 12397. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . . . 5
2		oveq1 6035	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5652	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5652	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6044	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6046	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2246	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6036	. . . . 5
10		oveq1 6035	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5652	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5652	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6044	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6046	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2246	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6036	. . . . 5
18		oveq1 6035	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5652	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5652	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6044	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6046	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2246	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6036	. . . . 5
26		oveq1 6035	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5652	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5652	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6044	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6046	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2246	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12331	. . . . . 6
34		ax-icn 8170	. . . . . . 7
35		sincl 12330	. . . . . . 7
36		mulcl 8202	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8200	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10851	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8608	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5652	. . . . . . 7
44		cos0 12354	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2280	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9
47		sin0 12353	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6044	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8612	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2280	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6046	. . . . 5
53		ax-1cn 8168	. . . . . 6
54	53	addridi 8363	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2280	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2267	. . 3
57		expp1 10854	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6035	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9454	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12330	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8204	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12331	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8358	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8213	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8220	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1362	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8605	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8805	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8207	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8621	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8469	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12361	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8204	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2268	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9638	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8073

cc0 8075

c1 8076

ci 8077

caddc 8078

cmul 8080

cmin 8392

cneg 8393

cn0 9444

cexp 10846

csin 12268

ccos 12269

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-disj 4070 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-oadd 6629 df-er 6745 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-sup 7226 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-2 9244 df-3 9245 df-4 9246 df-n0 9445 df-z 9524 df-uz 9800 df-q 9898 df-rp 9933 df-ico 10173 df-fz 10289 df-fzo 10423 df-seqfrec 10756 df-exp 10847 df-fac 11034 df-bc 11056 df-ihash 11084 df-cj 11465 df-re 11466 df-im 11467 df-rsqrt 11621 df-abs 11622 df-clim 11902 df-sumdc 11977 df-ef 12272 df-sin 12274 df-cos 12275

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