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Theorem demoivreALT 12085

Description: Alternate proof of demoivre 12084. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5952	. . . . 5
2		oveq1 5951	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5580	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5580	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5960	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5962	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2220	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5952	. . . . 5
10		oveq1 5951	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5580	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5580	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5960	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5962	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2220	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5952	. . . . 5
18		oveq1 5951	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5580	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5580	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5960	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5962	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2220	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5952	. . . . 5
26		oveq1 5951	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5580	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5580	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5960	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5962	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2220	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12018	. . . . . 6
34		ax-icn 8020	. . . . . . 7
35		sincl 12017	. . . . . . 7
36		mulcl 8052	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8050	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10688	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8459	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5580	. . . . . . 7
44		cos0 12041	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2254	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5580	. . . . . . . . 9
47		sin0 12040	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2254	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5960	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8463	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2254	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5962	. . . . 5
53		ax-1cn 8018	. . . . . 6
54	53	addridi 8214	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2254	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2241	. . 3
57		expp1 10691	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5951	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9305	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12047	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12017	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8054	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12018	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8209	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2244	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8070	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1283	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1338	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5580	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5580	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5962	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8456	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1249	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8204	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5954	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1338	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1338	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8057	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2242	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8472	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8320	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2242	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12048	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8054	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2238	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2241	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2249	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2242	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9487	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176

cfv 5271 (class class class)co 5944

cc 7923

cc0 7925

c1 7926

ci 7927

caddc 7928

cmul 7930

cmin 8243

cneg 8244

cn0 9295

cexp 10683

csin 11955

ccos 11956

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-disj 4022 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-isom 5280 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-irdg 6456 df-frec 6477 df-1o 6502 df-oadd 6506 df-er 6620 df-en 6828 df-dom 6829 df-fin 6830 df-sup 7086 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-ico 10016 df-fz 10131 df-fzo 10265 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-fac 10871 df-bc 10893 df-ihash 10921 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310 df-clim 11590 df-sumdc 11665 df-ef 11959 df-sin 11961 df-cos 11962

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