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Theorem demoivreALT 12334

Description: Alternate proof of demoivre 12333. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6025	. . . . 5
2		oveq1 6024	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5643	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5643	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6033	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6035	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2246	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6025	. . . . 5
10		oveq1 6024	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5643	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5643	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6033	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6035	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2246	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6025	. . . . 5
18		oveq1 6024	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5643	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5643	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6033	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6035	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2246	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6025	. . . . 5
26		oveq1 6024	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5643	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5643	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6033	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6035	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2246	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12267	. . . . . 6
34		ax-icn 8126	. . . . . . 7
35		sincl 12266	. . . . . . 7
36		mulcl 8158	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8156	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10804	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8565	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5643	. . . . . . 7
44		cos0 12290	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2280	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9
47		sin0 12289	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6033	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8569	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2280	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6035	. . . . 5
53		ax-1cn 8124	. . . . . 6
54	53	addridi 8320	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2280	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2267	. . 3
57		expp1 10807	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6024	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9411	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12296	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12266	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8160	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12267	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8315	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8169	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8176	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1306	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1361	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8158	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1272	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8310	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8762	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6027	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8163	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8158	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8578	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8426	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12297	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8160	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6032	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2268	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9593	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

cfv 5326 (class class class)co 6017

cc 8029

cc0 8031

c1 8032

ci 8033

caddc 8034

cmul 8036

cmin 8349

cneg 8350

cn0 9401

cexp 10799

csin 12204

ccos 12205

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-disj 4065 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-irdg 6535 df-frec 6556 df-1o 6581 df-oadd 6585 df-er 6701 df-en 6909 df-dom 6910 df-fin 6911 df-sup 7182 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-ico 10128 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-fac 10987 df-bc 11009 df-ihash 11037 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-clim 11839 df-sumdc 11914 df-ef 12208 df-sin 12210 df-cos 12211

This theorem is referenced by: (None)

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