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Theorem demoivreALT 12280

Description: Alternate proof of demoivre 12279. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6008	. . . . 5
2		oveq1 6007	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5630	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5630	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6016	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6018	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2244	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6008	. . . . 5
10		oveq1 6007	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5630	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5630	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6016	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6018	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2244	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6008	. . . . 5
18		oveq1 6007	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5630	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5630	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6016	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6018	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2244	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6008	. . . . 5
26		oveq1 6007	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5630	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5630	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6016	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6018	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2244	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12213	. . . . . 6
34		ax-icn 8090	. . . . . . 7
35		sincl 12212	. . . . . . 7
36		mulcl 8122	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8120	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10760	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8529	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5630	. . . . . . 7
44		cos0 12236	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2278	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5630	. . . . . . . . 9
47		sin0 12235	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6016	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8533	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2278	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6018	. . . . 5
53		ax-1cn 8088	. . . . . 6
54	53	addridi 8284	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2278	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2265	. . 3
57		expp1 10763	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6007	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9375	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12242	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12212	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8124	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12213	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8279	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6016	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8133	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8140	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1359	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5630	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5630	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6018	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8526	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8726	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6010	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6018	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8127	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8542	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6015	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8390	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6015	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12243	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8124	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6015	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2266	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9557	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cfv 5317 (class class class)co 6000

cc 7993

cc0 7995

c1 7996

ci 7997

caddc 7998

cmul 8000

cmin 8313

cneg 8314

cn0 9365

cexp 10755

csin 12150

ccos 12151

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113 ax-arch 8114 ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-disj 4059 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-ilim 4459 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-isom 5326 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-irdg 6514 df-frec 6535 df-1o 6560 df-oadd 6564 df-er 6678 df-en 6886 df-dom 6887 df-fin 6888 df-sup 7147 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-inn 9107 df-2 9165 df-3 9166 df-4 9167 df-n0 9366 df-z 9443 df-uz 9719 df-q 9811 df-rp 9846 df-ico 10086 df-fz 10201 df-fzo 10335 df-seqfrec 10665 df-exp 10756 df-fac 10943 df-bc 10965 df-ihash 10993 df-cj 11348 df-re 11349 df-im 11350 df-rsqrt 11504 df-abs 11505 df-clim 11785 df-sumdc 11860 df-ef 12154 df-sin 12156 df-cos 12157

This theorem is referenced by: (None)

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