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Theorem demoivreALT 11736

Description: Alternate proof of demoivre 11735. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . 5
2		oveq1 5860	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5500	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5500	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5869	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5871	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2185	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		oveq2 5861	. . . . 5
10		oveq1 5860	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5500	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5500	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5869	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5871	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2185	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		oveq2 5861	. . . . 5
18		oveq1 5860	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5500	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5500	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5869	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5871	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2185	. . . 4
24	23	imbi2d 229	. . 3
25		oveq2 5861	. . . . 5
26		oveq1 5860	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5500	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5500	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5869	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5871	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2185	. . . 4
32	31	imbi2d 229	. . 3
33		coscl 11670	. . . . . 6
34		ax-icn 7869	. . . . . . 7
35		sincl 11669	. . . . . . 7
36		mulcl 7901	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 412	. . . . . 6
38		addcl 7899	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 409	. . . . 5
40		exp0 10480	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8306	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5500	. . . . . . 7
44		cos0 11693	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2219	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9
47		sin0 11692	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5869	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8310	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2219	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5871	. . . . 5
53		ax-1cn 7867	. . . . . 6
54	53	addid1i 8061	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2219	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2206	. . 3
57		expp1 10483	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5860	. . . . . . 7
62	61	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9145	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11699	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11669	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7903	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11670	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7911	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mulid2 7918	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1320	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 422	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8303	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8051	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8502	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7906	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8319	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2207	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11700	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7903	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2214	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2207	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 362	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9326	. 2
152	151	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

cfv 5198 (class class class)co 5853

cc 7772

cc0 7774

c1 7775

ci 7776

caddc 7777

cmul 7779

cmin 8090

cneg 8091

cn0 9135

cexp 10475

csin 11607

ccos 11608

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-disj 3967 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-irdg 6349 df-frec 6370 df-1o 6395 df-oadd 6399 df-er 6513 df-en 6719 df-dom 6720 df-fin 6721 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-ico 9851 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-fac 10660 df-bc 10682 df-ihash 10710 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-clim 11242 df-sumdc 11317 df-ef 11611 df-sin 11613 df-cos 11614

This theorem is referenced by: (None)

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