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Theorem demoivreALT 12460

Description: Alternate proof of demoivre 12459. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6058	. . . . 5
2		oveq1 6057	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5674	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5674	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6066	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6068	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2247	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6058	. . . . 5
10		oveq1 6057	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5674	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5674	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6066	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6068	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2247	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6058	. . . . 5
18		oveq1 6057	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5674	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5674	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6066	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6068	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2247	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6058	. . . . 5
26		oveq1 6057	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5674	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5674	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6066	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6068	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2247	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12393	. . . . . 6
34		ax-icn 8222	. . . . . . 7
35		sincl 12392	. . . . . . 7
36		mulcl 8254	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8252	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10905	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8660	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5674	. . . . . . 7
44		cos0 12416	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2281	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5674	. . . . . . . . 9
47		sin0 12415	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6066	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8664	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2281	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6068	. . . . 5
53		ax-1cn 8220	. . . . . 6
54	53	addridi 8415	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2281	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2268	. . 3
57		expp1 10908	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6057	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9506	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12422	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12392	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8256	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12393	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8410	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2271	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6066	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8272	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1362	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5674	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5674	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6068	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8657	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8405	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8857	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6060	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8673	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8521	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2269	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12423	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8256	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6065	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2268	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2276	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2269	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9692	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

cfv 5352 (class class class)co 6050

cc 8125

cc0 8127

c1 8128

ci 8129

caddc 8130

cmul 8132

cmin 8444

cneg 8445

cn0 9496

cexp 10900

csin 12330

ccos 12331

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-disj 4086 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-isom 5361 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-irdg 6601 df-frec 6622 df-1o 6647 df-oadd 6651 df-er 6767 df-en 6976 df-dom 6977 df-fin 6978 df-sup 7275 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-ico 10227 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-fac 11088 df-bc 11110 df-ihash 11139 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-clim 11964 df-sumdc 12039 df-ef 12334 df-sin 12336 df-cos 12337

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