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Theorem demoivreALT 11799

Description: Alternate proof of demoivre 11798. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5899	. . . . 5
2		oveq1 5898	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5534	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5534	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5907	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5909	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2204	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5899	. . . . 5
10		oveq1 5898	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5534	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5534	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5907	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5909	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2204	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5899	. . . . 5
18		oveq1 5898	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5534	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5534	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5907	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5909	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2204	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5899	. . . . 5
26		oveq1 5898	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5534	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5534	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5907	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5909	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2204	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11733	. . . . . 6
34		ax-icn 7924	. . . . . . 7
35		sincl 11732	. . . . . . 7
36		mulcl 7956	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 7954	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10542	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8362	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5534	. . . . . . 7
44		cos0 11756	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2238	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5534	. . . . . . . . 9
47		sin0 11755	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2238	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5907	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8366	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2238	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5909	. . . . 5
53		ax-1cn 7922	. . . . . 6
54	53	addid1i 8117	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2238	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2225	. . 3
57		expp1 10545	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5898	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9204	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11732	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7958	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11733	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8112	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2228	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5907	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5907	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7966	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 7973	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1336	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5534	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5534	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5907	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5909	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7956	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8359	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8107	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8558	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5901	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5909	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7961	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7956	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8375	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5906	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8223	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5906	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7958	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2222	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5906	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2225	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2233	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2226	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9385	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2160

cfv 5231 (class class class)co 5891

cc 7827

cc0 7829

c1 7830

ci 7831

caddc 7832

cmul 7834

cmin 8146

cneg 8147

cn0 9194

cexp 10537

csin 11670

ccos 11671

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1cn 7922 ax-1re 7923 ax-icn 7924 ax-addcl 7925 ax-addrcl 7926 ax-mulcl 7927 ax-mulrcl 7928 ax-addcom 7929 ax-mulcom 7930 ax-addass 7931 ax-mulass 7932 ax-distr 7933 ax-i2m1 7934 ax-0lt1 7935 ax-1rid 7936 ax-0id 7937 ax-rnegex 7938 ax-precex 7939 ax-cnre 7940 ax-pre-ltirr 7941 ax-pre-ltwlin 7942 ax-pre-lttrn 7943 ax-pre-apti 7944 ax-pre-ltadd 7945 ax-pre-mulgt0 7946 ax-pre-mulext 7947 ax-arch 7948 ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-disj 3996 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-isom 5240 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-irdg 6389 df-frec 6410 df-1o 6435 df-oadd 6439 df-er 6553 df-en 6759 df-dom 6760 df-fin 6761 df-sup 7001 df-pnf 8012 df-mnf 8013 df-xr 8014 df-ltxr 8015 df-le 8016 df-sub 8148 df-neg 8149 df-reap 8550 df-ap 8557 df-div 8648 df-inn 8938 df-2 8996 df-3 8997 df-4 8998 df-n0 9195 df-z 9272 df-uz 9547 df-q 9638 df-rp 9672 df-ico 9912 df-fz 10027 df-fzo 10161 df-seqfrec 10464 df-exp 10538 df-fac 10724 df-bc 10746 df-ihash 10774 df-cj 10869 df-re 10870 df-im 10871 df-rsqrt 11025 df-abs 11026 df-clim 11305 df-sumdc 11380 df-ef 11674 df-sin 11676 df-cos 11677

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