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Theorem demoivreALT 11765

Description: Alternate proof of demoivre 11764. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5877	. . . . 5
2		oveq1 5876	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5515	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5515	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5885	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5887	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2192	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5877	. . . . 5
10		oveq1 5876	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5515	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5515	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5885	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5887	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2192	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5877	. . . . 5
18		oveq1 5876	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5515	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5515	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5885	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5887	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2192	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5877	. . . . 5
26		oveq1 5876	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5515	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5515	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5885	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5887	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2192	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11699	. . . . . 6
34		ax-icn 7897	. . . . . . 7
35		sincl 11698	. . . . . . 7
36		mulcl 7929	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 7927	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10510	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8334	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5515	. . . . . . 7
44		cos0 11722	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2226	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9
47		sin0 11721	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5885	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8338	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2226	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5887	. . . . 5
53		ax-1cn 7895	. . . . . 6
54	53	addid1i 8089	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2226	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2213	. . 3
57		expp1 10513	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5876	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9175	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11728	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11698	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7931	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11699	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7939	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mulid2 7946	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1325	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5515	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5887	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8331	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1237	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8079	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8530	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7934	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8347	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11729	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7931	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2214	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9356	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cc0 7802

c1 7803

ci 7804

caddc 7805

cmul 7807

cmin 8118

cneg 8119

cn0 9165

cexp 10505

csin 11636

ccos 11637

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-disj 3978 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-oadd 6415 df-er 6529 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-ico 9881 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-fac 10690 df-bc 10712 df-ihash 10740 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-sumdc 11346 df-ef 11640 df-sin 11642 df-cos 11643

This theorem is referenced by: (None)

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