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Theorem demoivreALT 12485

Description: Alternate proof of demoivre 12484. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . 5
2		oveq1 6065	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5679	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5679	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6074	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6076	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2249	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6066	. . . . 5
10		oveq1 6065	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5679	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5679	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6074	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6076	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2249	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6066	. . . . 5
18		oveq1 6065	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5679	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5679	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6074	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6076	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2249	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6066	. . . . 5
26		oveq1 6065	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5679	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5679	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6074	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6076	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2249	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12418	. . . . . 6
34		ax-icn 8238	. . . . . . 7
35		sincl 12417	. . . . . . 7
36		mulcl 8270	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8268	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10929	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8677	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5679	. . . . . . 7
44		cos0 12441	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2283	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9
47		sin0 12440	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6074	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8681	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2283	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6076	. . . . 5
53		ax-1cn 8236	. . . . . 6
54	53	addridi 8431	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2283	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2270	. . 3
57		expp1 10932	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6065	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12447	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12417	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12418	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8426	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8288	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1362	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8674	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8421	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8874	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8690	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8537	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12448	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2278	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9710	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cc0 8143

c1 8144

ci 8145

caddc 8146

cmul 8148

cmin 8460

cneg 8461

cn0 9513

cexp 10924

csin 12355

ccos 12356

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-disj 4091 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-irdg 6614 df-frec 6635 df-1o 6660 df-oadd 6664 df-er 6780 df-en 6989 df-dom 6990 df-fin 6991 df-sup 7288 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-ico 10246 df-fz 10362 df-fzo 10499 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-fac 11113 df-bc 11135 df-ihash 11164 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-clim 11989 df-sumdc 12064 df-ef 12359 df-sin 12361 df-cos 12362

This theorem is referenced by: (None)

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