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Theorem demoivreALT 12519

Description: Alternate proof of demoivre 12518. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . 5
2		oveq1 6082	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5694	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5694	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6091	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6093	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2253	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6083	. . . . 5
10		oveq1 6082	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5694	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5694	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6091	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6093	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2253	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6083	. . . . 5
18		oveq1 6082	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5694	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5694	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6091	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6093	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2253	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6083	. . . . 5
26		oveq1 6082	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5694	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5694	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6091	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6093	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2253	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12452	. . . . . 6
34		ax-icn 8264	. . . . . . 7
35		sincl 12451	. . . . . . 7
36		mulcl 8296	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 418	. . . . . 6
38		addcl 8294	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 415	. . . . 5
40		exp0 10958	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8704	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5694	. . . . . . 7
44		cos0 12475	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2287	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9
47		sin0 12474	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6091	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8708	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2287	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6093	. . . . 5
53		ax-1cn 8262	. . . . . 6
54	53	addridi 8458	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2287	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2274	. . 3
57		expp1 10961	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6082	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 424	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12451	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8298	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12452	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8453	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8307	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8314	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1311	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1366	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6093	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8448	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8901	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1366	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1366	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8301	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8717	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8564	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 424	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8298	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9739	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

cfv 5372 (class class class)co 6075

cc 8167

cc0 8169

c1 8170

ci 8171

caddc 8172

cmul 8174

cmin 8487

cneg 8488

cn0 9542

cexp 10953

csin 12389

ccos 12390

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-disj 4102 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-isom 5381 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-irdg 6631 df-frec 6652 df-1o 6677 df-oadd 6681 df-er 6797 df-en 7013 df-dom 7014 df-fin 7015 df-sup 7314 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-ico 10275 df-fz 10391 df-fzo 10528 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-fac 11142 df-bc 11164 df-ihash 11193 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-clim 12023 df-sumdc 12098 df-ef 12393 df-sin 12395 df-cos 12396

This theorem is referenced by: (None)

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