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Theorem demoivreALT 11920

Description: Alternate proof of demoivre 11919. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5927	. . . . 5
2		oveq1 5926	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5559	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5559	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5935	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5937	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2208	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5927	. . . . 5
10		oveq1 5926	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5559	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5559	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5935	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5937	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2208	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5927	. . . . 5
18		oveq1 5926	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5559	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5559	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5935	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5937	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2208	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5927	. . . . 5
26		oveq1 5926	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5559	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5559	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5935	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5937	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2208	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11853	. . . . . 6
34		ax-icn 7969	. . . . . . 7
35		sincl 11852	. . . . . . 7
36		mulcl 8001	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 7999	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10617	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8408	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5559	. . . . . . 7
44		cos0 11876	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2242	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9
47		sin0 11875	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5935	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8412	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2242	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5937	. . . . 5
53		ax-1cn 7967	. . . . . 6
54	53	addid1i 8163	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2242	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2229	. . 3
57		expp1 10620	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5926	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9253	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11882	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11852	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8003	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11853	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8158	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8012	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8019	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1336	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5559	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8405	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8153	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8604	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8006	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8421	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8269	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2230	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11883	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8003	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2237	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2230	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9434	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

cfv 5255 (class class class)co 5919

cc 7872

cc0 7874

c1 7875

ci 7876

caddc 7877

cmul 7879

cmin 8192

cneg 8193

cn0 9243

cexp 10612

csin 11790

ccos 11791

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-disj 4008 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-irdg 6425 df-frec 6446 df-1o 6471 df-oadd 6475 df-er 6589 df-en 6797 df-dom 6798 df-fin 6799 df-sup 7045 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-ico 9963 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-fac 10800 df-bc 10822 df-ihash 10850 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-clim 11425 df-sumdc 11500 df-ef 11794 df-sin 11796 df-cos 11797

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