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Theorem demoivreALT 11939

Description: Alternate proof of demoivre 11938. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5930	. . . . 5
2		oveq1 5929	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5562	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5562	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5938	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5940	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2211	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5930	. . . . 5
10		oveq1 5929	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5562	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5562	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5938	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5940	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2211	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5930	. . . . 5
18		oveq1 5929	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5562	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5562	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5938	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5940	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2211	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5930	. . . . 5
26		oveq1 5929	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5562	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5562	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5938	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5940	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2211	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11872	. . . . . 6
34		ax-icn 7974	. . . . . . 7
35		sincl 11871	. . . . . . 7
36		mulcl 8006	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8004	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10635	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8413	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5562	. . . . . . 7
44		cos0 11895	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2245	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9
47		sin0 11894	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5938	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8417	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2245	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5940	. . . . 5
53		ax-1cn 7972	. . . . . 6
54	53	addridi 8168	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2245	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2232	. . 3
57		expp1 10638	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5929	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11901	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11871	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8008	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11872	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8163	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8024	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1336	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8410	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8158	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8610	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8011	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8426	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11902	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8008	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2233	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9440	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cc0 7879

c1 7880

ci 7881

caddc 7882

cmul 7884

cmin 8197

cneg 8198

cn0 9249

cexp 10630

csin 11809

ccos 11810

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-disj 4011 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-ico 9969 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-fac 10818 df-bc 10840 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-sumdc 11519 df-ef 11813 df-sin 11815 df-cos 11816

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