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Theorem demoivreALT 12325

Description: Alternate proof of demoivre 12324. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6021	. . . . 5
2		oveq1 6020	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5639	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5639	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6029	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6031	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2244	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6021	. . . . 5
10		oveq1 6020	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5639	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5639	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6029	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6031	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2244	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6021	. . . . 5
18		oveq1 6020	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5639	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5639	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6029	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6031	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2244	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6021	. . . . 5
26		oveq1 6020	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5639	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5639	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6029	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6031	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2244	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12258	. . . . . 6
34		ax-icn 8117	. . . . . . 7
35		sincl 12257	. . . . . . 7
36		mulcl 8149	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8147	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10795	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8556	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5639	. . . . . . 7
44		cos0 12281	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2278	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9
47		sin0 12280	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6029	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8560	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2278	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6031	. . . . 5
53		ax-1cn 8115	. . . . . 6
54	53	addridi 8311	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2278	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2265	. . 3
57		expp1 10798	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6020	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9402	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12257	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8151	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12258	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8306	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8160	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8167	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1359	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5639	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8553	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8301	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8753	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8154	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8569	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8417	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12288	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8151	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2266	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9584	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cc0 8022

c1 8023

ci 8024

caddc 8025

cmul 8027

cmin 8340

cneg 8341

cn0 9392

cexp 10790

csin 12195

ccos 12196

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-disj 4063 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-sup 7174 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-ico 10119 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-fac 10978 df-bc 11000 df-ihash 11028 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-clim 11830 df-sumdc 11905 df-ef 12199 df-sin 12201 df-cos 12202

This theorem is referenced by: (None)

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