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Theorem demoivreALT 11958

Description: Alternate proof of demoivre 11957. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5933	. . . . 5
2		oveq1 5932	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5565	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5565	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5941	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5943	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2211	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5933	. . . . 5
10		oveq1 5932	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5565	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5565	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5941	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5943	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2211	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5933	. . . . 5
18		oveq1 5932	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5565	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5565	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5941	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5943	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2211	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5933	. . . . 5
26		oveq1 5932	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5565	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5565	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5941	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5943	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2211	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11891	. . . . . 6
34		ax-icn 7993	. . . . . . 7
35		sincl 11890	. . . . . . 7
36		mulcl 8025	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8023	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10654	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8432	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5565	. . . . . . 7
44		cos0 11914	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2245	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9
47		sin0 11913	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5941	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8436	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2245	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5943	. . . . 5
53		ax-1cn 7991	. . . . . 6
54	53	addridi 8187	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2245	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2232	. . 3
57		expp1 10657	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5932	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9278	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11920	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11890	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8027	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11891	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8182	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1336	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5565	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8429	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8177	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8030	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8445	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11921	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8027	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2233	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9459	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7896

cc0 7898

c1 7899

ci 7900

caddc 7901

cmul 7903

cmin 8216

cneg 8217

cn0 9268

cexp 10649

csin 11828

ccos 11829

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-disj 4012 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-n0 9269 df-z 9346 df-uz 9621 df-q 9713 df-rp 9748 df-ico 9988 df-fz 10103 df-fzo 10237 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-fac 10837 df-bc 10859 df-ihash 10887 df-cj 11026 df-re 11027 df-im 11028 df-rsqrt 11182 df-abs 11183 df-clim 11463 df-sumdc 11538 df-ef 11832 df-sin 11834 df-cos 11835

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