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Theorem demoivreALT 11917

Description: Alternate proof of demoivre 11916. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . 5
2		oveq1 5925	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5558	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5558	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5934	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5936	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2208	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5926	. . . . 5
10		oveq1 5925	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5558	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5558	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5934	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5936	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2208	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5926	. . . . 5
18		oveq1 5925	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5558	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5558	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5934	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5936	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2208	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5926	. . . . 5
26		oveq1 5925	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5558	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5558	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5934	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5936	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2208	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11850	. . . . . 6
34		ax-icn 7967	. . . . . . 7
35		sincl 11849	. . . . . . 7
36		mulcl 7999	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 7997	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10614	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8406	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5558	. . . . . . 7
44		cos0 11873	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2242	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9
47		sin0 11872	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5934	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8410	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2242	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5936	. . . . 5
53		ax-1cn 7965	. . . . . 6
54	53	addid1i 8161	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2242	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2229	. . 3
57		expp1 10617	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5925	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9250	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11879	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11849	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11850	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8156	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8010	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8017	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1336	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5558	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8403	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8151	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8602	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8004	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8419	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2230	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11880	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2237	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2230	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9431	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

cfv 5254 (class class class)co 5918

cc 7870

cc0 7872

c1 7873

ci 7874

caddc 7875

cmul 7877

cmin 8190

cneg 8191

cn0 9240

cexp 10609

csin 11787

ccos 11788

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-disj 4007 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-ico 9960 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-fac 10797 df-bc 10819 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-sumdc 11497 df-ef 11791 df-sin 11793 df-cos 11794

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