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Theorem demoivreALT 11723

Description: Alternate proof of demoivre 11722. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5858	. . . . 5
2		oveq1 5857	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5498	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5498	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5866	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5868	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2185	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		oveq2 5858	. . . . 5
10		oveq1 5857	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5498	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5498	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5866	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5868	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2185	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		oveq2 5858	. . . . 5
18		oveq1 5857	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5498	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5498	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5866	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5868	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2185	. . . 4
24	23	imbi2d 229	. . 3
25		oveq2 5858	. . . . 5
26		oveq1 5857	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5498	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5498	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5866	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5868	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2185	. . . 4
32	31	imbi2d 229	. . 3
33		coscl 11657	. . . . . 6
34		ax-icn 7856	. . . . . . 7
35		sincl 11656	. . . . . . 7
36		mulcl 7888	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 412	. . . . . 6
38		addcl 7886	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 409	. . . . 5
40		exp0 10467	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8293	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5498	. . . . . . 7
44		cos0 11680	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2219	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5498	. . . . . . . . 9
47		sin0 11679	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5866	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8297	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2219	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5868	. . . . 5
53		ax-1cn 7854	. . . . . 6
54	53	addid1i 8048	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2219	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2206	. . 3
57		expp1 10470	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5857	. . . . . . 7
62	61	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9132	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7888	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11686	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11656	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7890	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7888	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11657	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7888	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8043	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5866	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5866	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7898	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mulid2 7905	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1320	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5498	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5498	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5866	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5868	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7888	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 422	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8489	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7893	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7888	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8306	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5865	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7888	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8154	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5865	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2207	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11687	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7890	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5865	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2214	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2207	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 362	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9313	. 2
152	151	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

cfv 5196 (class class class)co 5850

cc 7759

cc0 7761

c1 7762

ci 7763

caddc 7764

cmul 7766

cmin 8077

cneg 8078

cn0 9122

cexp 10462

csin 11594

ccos 11595

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4102 ax-sep 4105 ax-nul 4113 ax-pow 4158 ax-pr 4192 ax-un 4416 ax-setind 4519 ax-iinf 4570 ax-cnex 7852 ax-resscn 7853 ax-1cn 7854 ax-1re 7855 ax-icn 7856 ax-addcl 7857 ax-addrcl 7858 ax-mulcl 7859 ax-mulrcl 7860 ax-addcom 7861 ax-mulcom 7862 ax-addass 7863 ax-mulass 7864 ax-distr 7865 ax-i2m1 7866 ax-0lt1 7867 ax-1rid 7868 ax-0id 7869 ax-rnegex 7870 ax-precex 7871 ax-cnre 7872 ax-pre-ltirr 7873 ax-pre-ltwlin 7874 ax-pre-lttrn 7875 ax-pre-apti 7876 ax-pre-ltadd 7877 ax-pre-mulgt0 7878 ax-pre-mulext 7879 ax-arch 7880 ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3526 df-pw 3566 df-sn 3587 df-pr 3588 df-op 3590 df-uni 3795 df-int 3830 df-iun 3873 df-disj 3965 df-br 3988 df-opab 4049 df-mpt 4050 df-tr 4086 df-id 4276 df-po 4279 df-iso 4280 df-iord 4349 df-on 4351 df-ilim 4352 df-suc 4354 df-iom 4573 df-xp 4615 df-rel 4616 df-cnv 4617 df-co 4618 df-dm 4619 df-rn 4620 df-res 4621 df-ima 4622 df-iota 5158 df-fun 5198 df-fn 5199 df-f 5200 df-f1 5201 df-fo 5202 df-f1o 5203 df-fv 5204 df-isom 5205 df-riota 5806 df-ov 5853 df-oprab 5854 df-mpo 5855 df-1st 6116 df-2nd 6117 df-recs 6281 df-irdg 6346 df-frec 6367 df-1o 6392 df-oadd 6396 df-er 6509 df-en 6715 df-dom 6716 df-fin 6717 df-sup 6957 df-pnf 7943 df-mnf 7944 df-xr 7945 df-ltxr 7946 df-le 7947 df-sub 8079 df-neg 8080 df-reap 8481 df-ap 8488 df-div 8577 df-inn 8866 df-2 8924 df-3 8925 df-4 8926 df-n0 9123 df-z 9200 df-uz 9475 df-q 9566 df-rp 9598 df-ico 9838 df-fz 9953 df-fzo 10086 df-seqfrec 10389 df-exp 10463 df-fac 10647 df-bc 10669 df-ihash 10697 df-cj 10793 df-re 10794 df-im 10795 df-rsqrt 10949 df-abs 10950 df-clim 11229 df-sumdc 11304 df-ef 11598 df-sin 11600 df-cos 11601

This theorem is referenced by: (None)

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