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Theorem demoivreALT 11516

Description: Alternate proof of demoivre 11515. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5790	. . . . 5
2		oveq1 5789	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5433	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5433	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5798	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5800	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2155	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		oveq2 5790	. . . . 5
10		oveq1 5789	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5433	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5433	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5798	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5800	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2155	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		oveq2 5790	. . . . 5
18		oveq1 5789	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5433	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5433	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5798	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5800	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2155	. . . 4
24	23	imbi2d 229	. . 3
25		oveq2 5790	. . . . 5
26		oveq1 5789	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5433	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5433	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5798	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5800	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2155	. . . 4
32	31	imbi2d 229	. . 3
33		coscl 11450	. . . . . 6
34		ax-icn 7739	. . . . . . 7
35		sincl 11449	. . . . . . 7
36		mulcl 7771	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 411	. . . . . 6
38		addcl 7769	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 409	. . . . 5
40		exp0 10328	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8173	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5433	. . . . . . 7
44		cos0 11473	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2189	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5433	. . . . . . . . 9
47		sin0 11472	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2189	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5798	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8177	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2189	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5800	. . . . 5
53		ax-1cn 7737	. . . . . 6
54	53	addid1i 7928	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2189	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2176	. . 3
57		expp1 10331	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5789	. . . . . . 7
62	61	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9011	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11479	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 417	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11449	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7773	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11450	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 7923	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2179	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7781	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mulid2 7788	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1250	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1304	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5433	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5433	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 421	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8170	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1216	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 7918	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8369	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1304	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1304	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7776	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1303	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8186	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7771	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8034	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2177	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11480	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 417	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7773	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2173	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2176	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2184	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2177	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 362	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9189	. 2
152	151	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103 $/\$ w3a 963

wceq 1332

wcel 1481

cfv 5131 (class class class)co 5782

cc 7642

cc0 7644

c1 7645

ci 7646

caddc 7647

cmul 7649

cmin 7957

cneg 7958

cn0 9001

cexp 10323

csin 11387

ccos 11388

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-disj 3915 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-sup 6879 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-ico 9707 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504 df-bc 10526 df-ihash 10554 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 df-ef 11391 df-sin 11393 df-cos 11394

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