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Theorem demoivreALT 11780

Description: Alternate proof of demoivre 11779. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5882	. . . . 5
2		oveq1 5881	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5519	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5519	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5890	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5892	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2192	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5882	. . . . 5
10		oveq1 5881	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5519	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5519	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5890	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5892	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2192	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5882	. . . . 5
18		oveq1 5881	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5519	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5519	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5890	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5892	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2192	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5882	. . . . 5
26		oveq1 5881	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5519	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5519	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5890	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5892	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2192	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11714	. . . . . 6
34		ax-icn 7905	. . . . . . 7
35		sincl 11713	. . . . . . 7
36		mulcl 7937	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 7935	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10523	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8343	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5519	. . . . . . 7
44		cos0 11737	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2226	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5519	. . . . . . . . 9
47		sin0 11736	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5890	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8347	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2226	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5892	. . . . 5
53		ax-1cn 7903	. . . . . 6
54	53	addid1i 8098	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2226	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2213	. . 3
57		expp1 10526	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5881	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9185	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11743	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11713	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7939	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11714	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5890	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5890	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7947	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 7954	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1325	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5519	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5519	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5890	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5892	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7937	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8340	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1237	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8088	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8539	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7942	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7937	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8356	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8204	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11744	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7939	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5889	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2214	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9366	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

cfv 5216 (class class class)co 5874

cc 7808

cc0 7810

c1 7811

ci 7812

caddc 7813

cmul 7815

cmin 8127

cneg 8128

cn0 9175

cexp 10518

csin 11651

ccos 11652

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-disj 3981 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-sup 6982 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-ico 9893 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-fac 10705 df-bc 10727 df-ihash 10755 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-clim 11286 df-sumdc 11361 df-ef 11655 df-sin 11657 df-cos 11658

This theorem is referenced by: (None)

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