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Theorem demoivreALT 12300

Description: Alternate proof of demoivre 12299. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6015	. . . . 5
2		oveq1 6014	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5633	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5633	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6023	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6025	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2244	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6015	. . . . 5
10		oveq1 6014	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5633	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5633	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6023	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6025	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2244	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6015	. . . . 5
18		oveq1 6014	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5633	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5633	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6023	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6025	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2244	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6015	. . . . 5
26		oveq1 6014	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5633	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5633	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6023	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6025	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2244	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12233	. . . . . 6
34		ax-icn 8105	. . . . . . 7
35		sincl 12232	. . . . . . 7
36		mulcl 8137	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 8135	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10777	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8544	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5633	. . . . . . 7
44		cos0 12256	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2278	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5633	. . . . . . . . 9
47		sin0 12255	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6023	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8548	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2278	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6025	. . . . 5
53		ax-1cn 8103	. . . . . 6
54	53	addridi 8299	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2278	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2265	. . 3
57		expp1 10780	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6014	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9390	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8137	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12232	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8139	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8137	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12233	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8137	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8294	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8148	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8155	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1359	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5633	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5633	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8137	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8541	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8289	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8741	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8142	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8137	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8557	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8137	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8405	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12263	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8139	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2266	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9572	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cfv 5318 (class class class)co 6007

cc 8008

cc0 8010

c1 8011

ci 8012

caddc 8013

cmul 8015

cmin 8328

cneg 8329

cn0 9380

cexp 10772

csin 12170

ccos 12171

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-disj 4060 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7162 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-ico 10102 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-fac 10960 df-bc 10982 df-ihash 11010 df-cj 11368 df-re 11369 df-im 11370 df-rsqrt 11524 df-abs 11525 df-clim 11805 df-sumdc 11880 df-ef 12174 df-sin 12176 df-cos 12177

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