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Theorem demoivreALT 11714

Description: Alternate proof of demoivre 11713. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . 5
2		oveq1 5849	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5490	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5490	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5858	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5860	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2180	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		oveq2 5850	. . . . 5
10		oveq1 5849	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5490	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5490	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5858	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5860	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2180	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		oveq2 5850	. . . . 5
18		oveq1 5849	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5490	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5490	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5858	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5860	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2180	. . . 4
24	23	imbi2d 229	. . 3
25		oveq2 5850	. . . . 5
26		oveq1 5849	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5490	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5490	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5858	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5860	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2180	. . . 4
32	31	imbi2d 229	. . 3
33		coscl 11648	. . . . . 6
34		ax-icn 7848	. . . . . . 7
35		sincl 11647	. . . . . . 7
36		mulcl 7880	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 411	. . . . . 6
38		addcl 7878	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 409	. . . . 5
40		exp0 10459	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8285	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5490	. . . . . . 7
44		cos0 11671	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2215	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9
47		sin0 11670	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5858	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8289	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2215	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5860	. . . . 5
53		ax-1cn 7846	. . . . . 6
54	53	addid1i 8040	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2215	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2201	. . 3
57		expp1 10462	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5849	. . . . . . 7
62	61	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9124	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 417	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11647	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7882	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11648	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2204	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7890	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mulid2 7897	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1261	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1315	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 421	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8030	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8481	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1315	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1315	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7885	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1314	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8298	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8146	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11678	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 417	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7882	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2201	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2209	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2202	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 362	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9305	. 2
152	151	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

cfv 5188 (class class class)co 5842

cc 7751

cc0 7753

c1 7754

ci 7755

caddc 7756

cmul 7758

cmin 8069

cneg 8070

cn0 9114

cexp 10454

csin 11585

ccos 11586

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-disj 3960 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-frec 6359 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-er 6501 df-en 6707 df-dom 6708 df-fin 6709 df-sup 6949 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-ico 9830 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-fac 10639 df-bc 10661 df-ihash 10689 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-clim 11220 df-sumdc 11295 df-ef 11589 df-sin 11591 df-cos 11592

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