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Theorem demoivreALT 11794

Description: Alternate proof of demoivre 11793. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5896	. . . . 5
2		oveq1 5895	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5531	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5531	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 5904	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 5906	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2202	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 5896	. . . . 5
10		oveq1 5895	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5531	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5531	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 5904	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 5906	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2202	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5896	. . . . 5
18		oveq1 5895	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5531	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5531	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 5904	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 5906	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2202	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 5896	. . . . 5
26		oveq1 5895	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5531	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5531	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 5904	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 5906	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2202	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 11728	. . . . . 6
34		ax-icn 7919	. . . . . . 7
35		sincl 11727	. . . . . . 7
36		mulcl 7951	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 414	. . . . . 6
38		addcl 7949	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . 5
40		exp0 10537	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8357	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5531	. . . . . . 7
44		cos0 11751	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2236	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5531	. . . . . . . . 9
47		sin0 11750	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2236	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 5904	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8361	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2236	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 5906	. . . . 5
53		ax-1cn 7917	. . . . . 6
54	53	addid1i 8112	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2236	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2223	. . 3
57		expp1 10540	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 5895	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9199	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 11757	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 11727	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 7953	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 11728	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8107	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 5904	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 7961	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 7968	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1021	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1281	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1335	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5531	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5531	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 5906	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8354	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1247	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8102	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8553	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 5898	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2236	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1335	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1335	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 7956	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2223	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2224	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8370	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 5903	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8218	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 5903	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2224	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 11758	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 7953	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2220	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 5903	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2223	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2231	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2224	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9380	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 979

wceq 1363

wcel 2158

cfv 5228 (class class class)co 5888

cc 7822

cc0 7824

c1 7825

ci 7826

caddc 7827

cmul 7829

cmin 8141

cneg 8142

cn0 9189

cexp 10532

csin 11665

ccos 11666

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-disj 3993 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-frec 6405 df-1o 6430 df-oadd 6434 df-er 6548 df-en 6754 df-dom 6755 df-fin 6756 df-sup 6996 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-ico 9907 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-fac 10719 df-bc 10741 df-ihash 10769 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-clim 11300 df-sumdc 11375 df-ef 11669 df-sin 11671 df-cos 11672

This theorem is referenced by: (None)

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