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Theorem demoivreALT 12541

Description: Alternate proof of demoivre 12540. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6093	. . . . 5
2		oveq1 6092	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5699	. . . . . 6
4	2	fveq2d 5699	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6101	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6103	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2253	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		oveq2 6093	. . . . 5
10		oveq1 6092	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5699	. . . . . 6
12	10	fveq2d 5699	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6101	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6103	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2253	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6093	. . . . 5
18		oveq1 6092	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 5699	. . . . . 6
20	18	fveq2d 5699	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6101	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6103	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2253	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		oveq2 6093	. . . . 5
26		oveq1 6092	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 5699	. . . . . 6
28	26	fveq2d 5699	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6101	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6103	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2253	. . . 4
32	31	imbi2d 230	. . 3
33		coscl 12474	. . . . . 6
34		ax-icn 8274	. . . . . . 7
35		sincl 12473	. . . . . . 7
36		mulcl 8306	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 418	. . . . . 6
38		addcl 8304	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 415	. . . . 5
40		exp0 10980	. . . . 5
41	39, 40	syl 14	. . . 4
42		mul02 8714	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 5699	. . . . . . 7
44		cos0 12497	. . . . . . 7
45	43, 44	eqtrdi 2287	. . . . . 6
46	42	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9
47		sin0 12496	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6101	. . . . . . 7
50	34	mul01i 8718	. . . . . . 7
51	49, 50	eqtrdi 2287	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6103	. . . . 5
53		ax-1cn 8272	. . . . . 6
54	53	addridi 8468	. . . . 5
55	52, 54	eqtrdi 2287	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2274	. . 3
57		expp1 10983	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6092	. . . . . . 7
62	61	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 9573	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 12503	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 424	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 12473	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 8308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 12474	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 8463	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 8317	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mullid 8324	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1311	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1366	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 8711	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 8458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 8911	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 8455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1366	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 8455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1366	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 8311	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 8727	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 8574	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 12504	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 424	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 8308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 364	. . . 4
150	149	a2d 26	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 9760	. 2
152	151	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

c1 8180

ci 8181

caddc 8182

cmul 8184

cmin 8497

cneg 8498

cn0 9563

cexp 10975

csin 12411

ccos 12412

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-disj 4107 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-oadd 6691 df-er 6807 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-q 10020 df-rp 10055 df-ico 10296 df-fz 10412 df-fzo 10550 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-fac 11164 df-bc 11186 df-ihash 11215 df-cj 11607 df-re 11608 df-im 11609 df-rsqrt 11764 df-abs 11765 df-clim 12045 df-sumdc 12120 df-ef 12415 df-sin 12417 df-cos 12418

This theorem is used by: (None)

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