Theorem muladd 8282

Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
muladd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7878	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		adddi 7885	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
3	2	3expb 1194	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
4	1, 3	sylan 281	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
5		adddir 7890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3expa 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
7	6	adantrr 471	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
8		adddir 7890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
9	8	3expa 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
10	9	adantrl 470	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
11	7, 10	oveq12d 5860	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
12		mulcl 7880	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	ad2ant2r 501	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14		mulcl 7880	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	ad2ant2lr 502	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16		mulcl 7880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
17		mulcl 7880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
18		addcl 7878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
20	19	anandirs 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
21	20	adantrl 470	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
22	13, 15, 21	add32d 8066	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐵 · 𝐶)))
23		mulcom 7882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐵))
24	23	ad2ant2l 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐵))
25	24	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐷 · 𝐵)))
26	16	ad2ant2rl 503	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
27	17	ad2ant2l 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
28	13, 26, 27	addassd 7921	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
29		mulcl 7880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	ad2ant2l 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	13, 26, 31	add32d 8066	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐷 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)))
33	25, 28, 32	3eqtr3d 2206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)))
34		mulcom 7882	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
35	34	ad2ant2lr 502	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
36	33, 35	oveq12d 5860	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐵 · 𝐶)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐶 · 𝐵)))
37		addcl 7878	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
38	12, 30, 37	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	an4s 578	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
40		mulcl 7880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
41	40	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
42	41	ad2ant2lr 502	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
43	39, 26, 42	addassd 7921	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
44	22, 36, 43	3eqtrd 2202	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
45	4, 11, 44	3eqtrd 2202	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756   · cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-distr 7857

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  mulsub  8299  muladdi  8307  muladdd  8314  sqabsadd  10997  demoivreALT  11714