Theorem subcl 7735

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 7728	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 7727	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 265	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5636	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2165	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   E!wreu 2362   iota_crio 5621  (class class class)co 5666   CCcc 7402   + caddc 7407   - cmin 7707

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709

This theorem is referenced by:  negcl  7736  subf  7738  pncan3  7744  npcan  7745  addsubass  7746  addsub  7747  addsub12  7749  addsubeq4  7751  npncan  7757  nppcan  7758  nnpcan  7759  nppcan3  7760  subcan2  7761  subsub2  7764  subsub4  7769  nnncan  7771  nnncan1  7772  nnncan2  7773  npncan3  7774  addsub4  7779  subadd4  7780  peano2cnm  7802  subcli  7812  subcld  7847  subeqrev  7908  subdi  7917  subdir  7918  mulsub2  7934  recextlem1  8174  recexap  8176  div2subap  8356  cju  8475  halfaddsubcl  8703  halfaddsub  8704  iccf1o  9475  isersub  9990  sqsubswap  10069  subsq  10115  subsq2  10116  bcn2  10226  shftval2  10314  2shfti  10319  sqabssub  10543  abssub  10588  abs3dif  10592  abs2dif  10593  abs2difabs  10595  climuni  10735  cjcn2  10758  recn2  10759  imcn2  10760  climsub  10770  fisum0diag2  10895  arisum2  10947  geosergap  10954  geolim  10959  geolim2  10960  georeclim  10961  geo2sum  10962  tanaddap  11084  addsin  11087  fzocongeq  11191  odd2np1  11205  phiprm  11531