Theorem subcl 8377

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8370	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8369	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5986	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2308	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   E!wreu 2512   iota_crio 5969  (class class class)co 6017   CCcc 8029   + caddc 8034   - cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  negcl  8378  subf  8380  pncan3  8386  npcan  8387  addsubass  8388  addsub  8389  addsub12  8391  addsubeq4  8393  npncan  8399  nppcan  8400  nnpcan  8401  nppcan3  8402  subcan2  8403  subsub2  8406  subsub4  8411  nnncan  8413  nnncan1  8414  nnncan2  8415  npncan3  8416  addsub4  8421  subadd4  8422  peano2cnm  8444  subcli  8454  subcld  8489  subeqrev  8554  subdi  8563  subdir  8564  mulsub2  8580  recextlem1  8830  recexap  8832  div2subap  9016  cju  9140  ofnegsub  9141  halfaddsubcl  9376  halfaddsub  9377  iccf1o  10238  ser3sub  10784  sqsubswap  10860  subsq  10907  subsq2  10908  bcn2  11025  pfxccatin12lem1  11308  pfxccatin12lem2  11311  shftval2  11386  2shfti  11391  sqabssub  11616  abssub  11661  abs3dif  11665  abs2dif  11666  abs2difabs  11668  climuni  11853  cjcn2  11876  recn2  11877  imcn2  11878  climsub  11888  fisum0diag2  12007  arisum2  12059  geosergap  12066  geolim  12071  geolim2  12072  georeclim  12073  geo2sum  12074  tanaddap  12299  addsin  12302  fzocongeq  12418  odd2np1  12433  phiprm  12794  pythagtriplem4  12840  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem14  12849  fldivp1  12920  4sqlem19  12981  cnmet  15253  dveflem  15449  dvef  15450  efimpi  15542  ptolemy  15547  tangtx  15561  abssinper  15569  1sgm2ppw  15718  perfect1  15721  lgsquad2  15811