Theorem subcl 8225

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8218	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8217	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5892	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E!wreu 2477   iota_crio 5876  (class class class)co 5922   CCcc 7877   + caddc 7882   - cmin 8197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199

This theorem is referenced by:  negcl  8226  subf  8228  pncan3  8234  npcan  8235  addsubass  8236  addsub  8237  addsub12  8239  addsubeq4  8241  npncan  8247  nppcan  8248  nnpcan  8249  nppcan3  8250  subcan2  8251  subsub2  8254  subsub4  8259  nnncan  8261  nnncan1  8262  nnncan2  8263  npncan3  8264  addsub4  8269  subadd4  8270  peano2cnm  8292  subcli  8302  subcld  8337  subeqrev  8402  subdi  8411  subdir  8412  mulsub2  8428  recextlem1  8678  recexap  8680  div2subap  8864  cju  8988  ofnegsub  8989  halfaddsubcl  9224  halfaddsub  9225  iccf1o  10079  ser3sub  10615  sqsubswap  10691  subsq  10738  subsq2  10739  bcn2  10856  shftval2  10991  2shfti  10996  sqabssub  11221  abssub  11266  abs3dif  11270  abs2dif  11271  abs2difabs  11273  climuni  11458  cjcn2  11481  recn2  11482  imcn2  11483  climsub  11493  fisum0diag2  11612  arisum2  11664  geosergap  11671  geolim  11676  geolim2  11677  georeclim  11678  geo2sum  11679  tanaddap  11904  addsin  11907  fzocongeq  12023  odd2np1  12038  phiprm  12391  pythagtriplem4  12437  pythagtriplem12  12444  pythagtriplem14  12446  fldivp1  12517  4sqlem19  12578  cnmet  14766  dveflem  14962  dvef  14963  efimpi  15055  ptolemy  15060  tangtx  15074  abssinper  15082  1sgm2ppw  15231  perfect1  15234  lgsquad2  15324