Theorem subcl 8345

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8338	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8337	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5970	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   iota_crio 5953  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319

This theorem is referenced by:  negcl  8346  subf  8348  pncan3  8354  npcan  8355  addsubass  8356  addsub  8357  addsub12  8359  addsubeq4  8361  npncan  8367  nppcan  8368  nnpcan  8369  nppcan3  8370  subcan2  8371  subsub2  8374  subsub4  8379  nnncan  8381  nnncan1  8382  nnncan2  8383  npncan3  8384  addsub4  8389  subadd4  8390  peano2cnm  8412  subcli  8422  subcld  8457  subeqrev  8522  subdi  8531  subdir  8532  mulsub2  8548  recextlem1  8798  recexap  8800  div2subap  8984  cju  9108  ofnegsub  9109  halfaddsubcl  9344  halfaddsub  9345  iccf1o  10200  ser3sub  10745  sqsubswap  10821  subsq  10868  subsq2  10869  bcn2  10986  pfxccatin12lem1  11260  pfxccatin12lem2  11263  shftval2  11337  2shfti  11342  sqabssub  11567  abssub  11612  abs3dif  11616  abs2dif  11617  abs2difabs  11619  climuni  11804  cjcn2  11827  recn2  11828  imcn2  11829  climsub  11839  fisum0diag2  11958  arisum2  12010  geosergap  12017  geolim  12022  geolim2  12023  georeclim  12024  geo2sum  12025  tanaddap  12250  addsin  12253  fzocongeq  12369  odd2np1  12384  phiprm  12745  pythagtriplem4  12791  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem14  12800  fldivp1  12871  4sqlem19  12932  cnmet  15204  dveflem  15400  dvef  15401  efimpi  15493  ptolemy  15498  tangtx  15512  abssinper  15520  1sgm2ppw  15669  perfect1  15672  lgsquad2  15762