Theorem subcl 8356

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8349	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8348	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5976	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   iota_crio 5959  (class class class)co 6007   CCcc 8008   + caddc 8013   - cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330

This theorem is referenced by:  negcl  8357  subf  8359  pncan3  8365  npcan  8366  addsubass  8367  addsub  8368  addsub12  8370  addsubeq4  8372  npncan  8378  nppcan  8379  nnpcan  8380  nppcan3  8381  subcan2  8382  subsub2  8385  subsub4  8390  nnncan  8392  nnncan1  8393  nnncan2  8394  npncan3  8395  addsub4  8400  subadd4  8401  peano2cnm  8423  subcli  8433  subcld  8468  subeqrev  8533  subdi  8542  subdir  8543  mulsub2  8559  recextlem1  8809  recexap  8811  div2subap  8995  cju  9119  ofnegsub  9120  halfaddsubcl  9355  halfaddsub  9356  iccf1o  10212  ser3sub  10757  sqsubswap  10833  subsq  10880  subsq2  10881  bcn2  10998  pfxccatin12lem1  11276  pfxccatin12lem2  11279  shftval2  11353  2shfti  11358  sqabssub  11583  abssub  11628  abs3dif  11632  abs2dif  11633  abs2difabs  11635  climuni  11820  cjcn2  11843  recn2  11844  imcn2  11845  climsub  11855  fisum0diag2  11974  arisum2  12026  geosergap  12033  geolim  12038  geolim2  12039  georeclim  12040  geo2sum  12041  tanaddap  12266  addsin  12269  fzocongeq  12385  odd2np1  12400  phiprm  12761  pythagtriplem4  12807  pythagtriplem12  12814  pythagtriplem14  12816  fldivp1  12887  4sqlem19  12948  cnmet  15220  dveflem  15416  dvef  15417  efimpi  15509  ptolemy  15514  tangtx  15528  abssinper  15536  1sgm2ppw  15685  perfect1  15688  lgsquad2  15778