Theorem subcl 8273

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8266	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8265	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5916	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2282	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E!wreu 2486   iota_crio 5900  (class class class)co 5946   CCcc 7925   + caddc 7930   - cmin 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247

This theorem is referenced by:  negcl  8274  subf  8276  pncan3  8282  npcan  8283  addsubass  8284  addsub  8285  addsub12  8287  addsubeq4  8289  npncan  8295  nppcan  8296  nnpcan  8297  nppcan3  8298  subcan2  8299  subsub2  8302  subsub4  8307  nnncan  8309  nnncan1  8310  nnncan2  8311  npncan3  8312  addsub4  8317  subadd4  8318  peano2cnm  8340  subcli  8350  subcld  8385  subeqrev  8450  subdi  8459  subdir  8460  mulsub2  8476  recextlem1  8726  recexap  8728  div2subap  8912  cju  9036  ofnegsub  9037  halfaddsubcl  9272  halfaddsub  9273  iccf1o  10128  ser3sub  10670  sqsubswap  10746  subsq  10793  subsq2  10794  bcn2  10911  shftval2  11170  2shfti  11175  sqabssub  11400  abssub  11445  abs3dif  11449  abs2dif  11450  abs2difabs  11452  climuni  11637  cjcn2  11660  recn2  11661  imcn2  11662  climsub  11672  fisum0diag2  11791  arisum2  11843  geosergap  11850  geolim  11855  geolim2  11856  georeclim  11857  geo2sum  11858  tanaddap  12083  addsin  12086  fzocongeq  12202  odd2np1  12217  phiprm  12578  pythagtriplem4  12624  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem14  12633  fldivp1  12704  4sqlem19  12765  cnmet  15035  dveflem  15231  dvef  15232  efimpi  15324  ptolemy  15329  tangtx  15343  abssinper  15351  1sgm2ppw  15500  perfect1  15503  lgsquad2  15593