Theorem subcl 8154

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8147	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8146	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5844	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2254	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E!wreu 2457   iota_crio 5829  (class class class)co 5874   CCcc 7808   + caddc 7813   - cmin 8126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128

This theorem is referenced by:  negcl  8155  subf  8157  pncan3  8163  npcan  8164  addsubass  8165  addsub  8166  addsub12  8168  addsubeq4  8170  npncan  8176  nppcan  8177  nnpcan  8178  nppcan3  8179  subcan2  8180  subsub2  8183  subsub4  8188  nnncan  8190  nnncan1  8191  nnncan2  8192  npncan3  8193  addsub4  8198  subadd4  8199  peano2cnm  8221  subcli  8231  subcld  8266  subeqrev  8331  subdi  8340  subdir  8341  mulsub2  8357  recextlem1  8606  recexap  8608  div2subap  8792  cju  8916  halfaddsubcl  9150  halfaddsub  9151  iccf1o  10002  ser3sub  10503  sqsubswap  10577  subsq  10623  subsq2  10624  bcn2  10739  shftval2  10830  2shfti  10835  sqabssub  11060  abssub  11105  abs3dif  11109  abs2dif  11110  abs2difabs  11112  climuni  11296  cjcn2  11319  recn2  11320  imcn2  11321  climsub  11331  fisum0diag2  11450  arisum2  11502  geosergap  11509  geolim  11514  geolim2  11515  georeclim  11516  geo2sum  11517  tanaddap  11742  addsin  11745  fzocongeq  11858  odd2np1  11872  phiprm  12217  pythagtriplem4  12262  pythagtriplem12  12269  pythagtriplem14  12271  fldivp1  12340  cnmet  13961  dveflem  14118  dvef  14119  efimpi  14171  ptolemy  14176  tangtx  14190  abssinper  14198