Theorem subcl 8368

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8361	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8360	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5982	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   iota_crio 5965  (class class class)co 6013   CCcc 8020   + caddc 8025   - cmin 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342

This theorem is referenced by:  negcl  8369  subf  8371  pncan3  8377  npcan  8378  addsubass  8379  addsub  8380  addsub12  8382  addsubeq4  8384  npncan  8390  nppcan  8391  nnpcan  8392  nppcan3  8393  subcan2  8394  subsub2  8397  subsub4  8402  nnncan  8404  nnncan1  8405  nnncan2  8406  npncan3  8407  addsub4  8412  subadd4  8413  peano2cnm  8435  subcli  8445  subcld  8480  subeqrev  8545  subdi  8554  subdir  8555  mulsub2  8571  recextlem1  8821  recexap  8823  div2subap  9007  cju  9131  ofnegsub  9132  halfaddsubcl  9367  halfaddsub  9368  iccf1o  10229  ser3sub  10775  sqsubswap  10851  subsq  10898  subsq2  10899  bcn2  11016  pfxccatin12lem1  11299  pfxccatin12lem2  11302  shftval2  11377  2shfti  11382  sqabssub  11607  abssub  11652  abs3dif  11656  abs2dif  11657  abs2difabs  11659  climuni  11844  cjcn2  11867  recn2  11868  imcn2  11869  climsub  11879  fisum0diag2  11998  arisum2  12050  geosergap  12057  geolim  12062  geolim2  12063  georeclim  12064  geo2sum  12065  tanaddap  12290  addsin  12293  fzocongeq  12409  odd2np1  12424  phiprm  12785  pythagtriplem4  12831  pythagtriplem12  12838  pythagtriplem14  12840  fldivp1  12911  4sqlem19  12972  cnmet  15244  dveflem  15440  dvef  15441  efimpi  15533  ptolemy  15538  tangtx  15552  abssinper  15560  1sgm2ppw  15709  perfect1  15712  lgsquad2  15802