Theorem subcl 8306

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8299	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8298	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5937	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2284	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   E!wreu 2488   iota_crio 5921  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   - cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280

This theorem is referenced by:  negcl  8307  subf  8309  pncan3  8315  npcan  8316  addsubass  8317  addsub  8318  addsub12  8320  addsubeq4  8322  npncan  8328  nppcan  8329  nnpcan  8330  nppcan3  8331  subcan2  8332  subsub2  8335  subsub4  8340  nnncan  8342  nnncan1  8343  nnncan2  8344  npncan3  8345  addsub4  8350  subadd4  8351  peano2cnm  8373  subcli  8383  subcld  8418  subeqrev  8483  subdi  8492  subdir  8493  mulsub2  8509  recextlem1  8759  recexap  8761  div2subap  8945  cju  9069  ofnegsub  9070  halfaddsubcl  9305  halfaddsub  9306  iccf1o  10161  ser3sub  10705  sqsubswap  10781  subsq  10828  subsq2  10829  bcn2  10946  pfxccatin12lem1  11219  pfxccatin12lem2  11222  shftval2  11252  2shfti  11257  sqabssub  11482  abssub  11527  abs3dif  11531  abs2dif  11532  abs2difabs  11534  climuni  11719  cjcn2  11742  recn2  11743  imcn2  11744  climsub  11754  fisum0diag2  11873  arisum2  11925  geosergap  11932  geolim  11937  geolim2  11938  georeclim  11939  geo2sum  11940  tanaddap  12165  addsin  12168  fzocongeq  12284  odd2np1  12299  phiprm  12660  pythagtriplem4  12706  pythagtriplem12  12713  pythagtriplem14  12715  fldivp1  12786  4sqlem19  12847  cnmet  15117  dveflem  15313  dvef  15314  efimpi  15406  ptolemy  15411  tangtx  15425  abssinper  15433  1sgm2ppw  15582  perfect1  15585  lgsquad2  15675