Theorem subcl 8437

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8430	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8429	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5997	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2308	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   E!wreu 2513   iota_crio 5980  (class class class)co 6028   CCcc 8090   + caddc 8095   - cmin 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411

This theorem is referenced by:  negcl  8438  subf  8440  pncan3  8446  npcan  8447  addsubass  8448  addsub  8449  addsub12  8451  addsubeq4  8453  npncan  8459  nppcan  8460  nnpcan  8461  nppcan3  8462  subcan2  8463  subsub2  8466  subsub4  8471  nnncan  8473  nnncan1  8474  nnncan2  8475  npncan3  8476  addsub4  8481  subadd4  8482  peano2cnm  8504  subcli  8514  subcld  8549  subeqrev  8614  subdi  8623  subdir  8624  mulsub2  8640  recextlem1  8890  recexap  8892  div2subap  9076  cju  9200  ofnegsub  9201  halfaddsubcl  9436  halfaddsub  9437  iccf1o  10301  ser3sub  10848  sqsubswap  10924  subsq  10971  subsq2  10972  bcn2  11089  pfxccatin12lem1  11375  pfxccatin12lem2  11378  shftval2  11466  2shfti  11471  sqabssub  11696  abssub  11741  abs3dif  11745  abs2dif  11746  abs2difabs  11748  climuni  11933  cjcn2  11956  recn2  11957  imcn2  11958  climsub  11968  fisum0diag2  12088  arisum2  12140  geosergap  12147  geolim  12152  geolim2  12153  georeclim  12154  geo2sum  12155  tanaddap  12380  addsin  12383  fzocongeq  12499  odd2np1  12514  phiprm  12875  pythagtriplem4  12921  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem14  12930  fldivp1  13001  4sqlem19  13062  cnmet  15341  dveflem  15537  dvef  15538  efimpi  15630  ptolemy  15635  tangtx  15649  abssinper  15657  1sgm2ppw  15809  perfect1  15812  lgsquad2  15902