Theorem subcl 8244

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8237	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8236	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5895	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E!wreu 2477   iota_crio 5879  (class class class)co 5925   CCcc 7896   + caddc 7901   - cmin 8216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218

This theorem is referenced by:  negcl  8245  subf  8247  pncan3  8253  npcan  8254  addsubass  8255  addsub  8256  addsub12  8258  addsubeq4  8260  npncan  8266  nppcan  8267  nnpcan  8268  nppcan3  8269  subcan2  8270  subsub2  8273  subsub4  8278  nnncan  8280  nnncan1  8281  nnncan2  8282  npncan3  8283  addsub4  8288  subadd4  8289  peano2cnm  8311  subcli  8321  subcld  8356  subeqrev  8421  subdi  8430  subdir  8431  mulsub2  8447  recextlem1  8697  recexap  8699  div2subap  8883  cju  9007  ofnegsub  9008  halfaddsubcl  9243  halfaddsub  9244  iccf1o  10098  ser3sub  10634  sqsubswap  10710  subsq  10757  subsq2  10758  bcn2  10875  shftval2  11010  2shfti  11015  sqabssub  11240  abssub  11285  abs3dif  11289  abs2dif  11290  abs2difabs  11292  climuni  11477  cjcn2  11500  recn2  11501  imcn2  11502  climsub  11512  fisum0diag2  11631  arisum2  11683  geosergap  11690  geolim  11695  geolim2  11696  georeclim  11697  geo2sum  11698  tanaddap  11923  addsin  11926  fzocongeq  12042  odd2np1  12057  phiprm  12418  pythagtriplem4  12464  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  fldivp1  12544  4sqlem19  12605  cnmet  14874  dveflem  15070  dvef  15071  efimpi  15163  ptolemy  15168  tangtx  15182  abssinper  15190  1sgm2ppw  15339  perfect1  15342  lgsquad2  15432