Theorem subcl 8515

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8508	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8507	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 6044	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   iota_crio 6027  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489

This theorem is referenced by:  negcl  8516  subf  8518  pncan3  8524  npcan  8525  addsubass  8526  addsub  8527  addsub12  8529  addsubeq4  8531  npncan  8537  nppcan  8538  nnpcan  8539  nppcan3  8540  subcan2  8541  subsub2  8544  subsub4  8549  nnncan  8551  nnncan1  8552  nnncan2  8553  npncan3  8554  addsub4  8559  subadd4  8560  peano2cnm  8582  subcli  8592  subcld  8627  subeqrev  8692  subdi  8702  subdir  8703  mulsub2  8719  recextlem1  8969  recexap  8971  div2subap  9157  cju  9281  ofnegsub  9282  halfaddsubcl  9517  halfaddsub  9518  iccf1o  10386  ser3sub  10938  sqsubswap  11014  subsq  11061  subsq2  11062  bcn2  11180  pfxccatin12lem1  11478  pfxccatin12lem2  11481  shftval2  11569  2shfti  11574  sqabssub  11800  abssub  11845  abs3dif  11849  abs2dif  11850  abs2difabs  11852  climuni  12037  cjcn2  12060  recn2  12061  imcn2  12062  climsub  12072  fisum0diag2  12192  arisum2  12244  geosergap  12251  geolim  12256  geolim2  12257  georeclim  12258  geo2sum  12259  tanaddap  12484  addsin  12487  fzocongeq  12603  odd2np1  12618  phiprm  12979  pythagtriplem4  13025  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem14  13034  fldivp1  13105  4sqlem19  13166  cnmet  15554  dveflem  15750  dvef  15751  efimpi  15843  ptolemy  15848  tangtx  15862  abssinper  15870  1sgm2ppw  16023  perfect1  16026  lgsquad2  16116