Theorem subcl 8532

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8525	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8524	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 6057	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   CCcc 8183   + caddc 8188   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506

This theorem is used by:  negcl  8533  subf  8535  pncan3  8541  npcan  8542  addsubass  8543  addsub  8544  addsub12  8546  addsubeq4  8548  npncan  8554  nppcan  8555  nnpcan  8556  nppcan3  8557  subcan2  8558  subsub2  8561  subsub4  8566  nnncan  8568  nnncan1  8569  nnncan2  8570  npncan3  8571  addsub4  8576  subadd4  8577  peano2cnm  8599  subcli  8609  subcld  8644  subeqrev  8709  subdi  8719  subdir  8720  mulsub2  8736  recextlem1  8987  recexap  8989  div2subap  9175  cju  9299  ofsubeq0  9300  ofnegsub  9301  halfaddsubcl  9549  halfaddsub  9550  iccf1o  10424  ser3sub  10981  sqsubswap  11057  subsq  11104  subsq2  11105  bcn2  11224  pfxccatin12lem1  11522  pfxccatin12lem2  11525  shftval2  11613  2shfti  11618  sqabssub  11844  abssub  11890  abs3dif  11894  abs2dif  11895  abs2difabs  11897  climuni  12084  cjcn2  12107  recn2  12108  imcn2  12109  climsub  12119  fisum0diag2  12239  arisum2  12291  geosergap  12298  geolim  12303  geolim2  12304  georeclim  12305  geo2sum  12306  tanaddap  12531  addsin  12534  fzocongeq  12650  odd2np1  12665  phiprm  13030  pythagtriplem4  13076  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem14  13085  fldivp1  13156  4sqlem19  13217  cnmet  15756  dveflem  15952  dvef  15953  efimpi  16046  ptolemy  16051  tangtx  16065  abssinper  16073  birthdaylem2  16226  1sgm2ppw  16289  perfect1  16298  bposlem9  16319  lgsquad2  16407