Theorem subcl 7961

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 7954	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 7953	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5744	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2216	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E!wreu 2418   iota_crio 5729  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623   - cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935

This theorem is referenced by:  negcl  7962  subf  7964  pncan3  7970  npcan  7971  addsubass  7972  addsub  7973  addsub12  7975  addsubeq4  7977  npncan  7983  nppcan  7984  nnpcan  7985  nppcan3  7986  subcan2  7987  subsub2  7990  subsub4  7995  nnncan  7997  nnncan1  7998  nnncan2  7999  npncan3  8000  addsub4  8005  subadd4  8006  peano2cnm  8028  subcli  8038  subcld  8073  subeqrev  8138  subdi  8147  subdir  8148  mulsub2  8164  recextlem1  8412  recexap  8414  div2subap  8596  cju  8719  halfaddsubcl  8953  halfaddsub  8954  iccf1o  9787  ser3sub  10279  sqsubswap  10353  subsq  10399  subsq2  10400  bcn2  10510  shftval2  10598  2shfti  10603  sqabssub  10828  abssub  10873  abs3dif  10877  abs2dif  10878  abs2difabs  10880  climuni  11062  cjcn2  11085  recn2  11086  imcn2  11087  climsub  11097  fisum0diag2  11216  arisum2  11268  geosergap  11275  geolim  11280  geolim2  11281  georeclim  11282  geo2sum  11283  tanaddap  11446  addsin  11449  fzocongeq  11556  odd2np1  11570  phiprm  11899  cnmet  12699  dveflem  12855  dvef  12856  efimpi  12900  ptolemy  12905  tangtx  12919  abssinper  12927