Theorem subcl 8271

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8264	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8263	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5914	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2282	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E!wreu 2486   iota_crio 5898  (class class class)co 5944   CCcc 7923   + caddc 7928   - cmin 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245

This theorem is referenced by:  negcl  8272  subf  8274  pncan3  8280  npcan  8281  addsubass  8282  addsub  8283  addsub12  8285  addsubeq4  8287  npncan  8293  nppcan  8294  nnpcan  8295  nppcan3  8296  subcan2  8297  subsub2  8300  subsub4  8305  nnncan  8307  nnncan1  8308  nnncan2  8309  npncan3  8310  addsub4  8315  subadd4  8316  peano2cnm  8338  subcli  8348  subcld  8383  subeqrev  8448  subdi  8457  subdir  8458  mulsub2  8474  recextlem1  8724  recexap  8726  div2subap  8910  cju  9034  ofnegsub  9035  halfaddsubcl  9270  halfaddsub  9271  iccf1o  10126  ser3sub  10668  sqsubswap  10744  subsq  10791  subsq2  10792  bcn2  10909  shftval2  11137  2shfti  11142  sqabssub  11367  abssub  11412  abs3dif  11416  abs2dif  11417  abs2difabs  11419  climuni  11604  cjcn2  11627  recn2  11628  imcn2  11629  climsub  11639  fisum0diag2  11758  arisum2  11810  geosergap  11817  geolim  11822  geolim2  11823  georeclim  11824  geo2sum  11825  tanaddap  12050  addsin  12053  fzocongeq  12169  odd2np1  12184  phiprm  12545  pythagtriplem4  12591  pythagtriplem12  12598  pythagtriplem14  12600  fldivp1  12671  4sqlem19  12732  cnmet  15002  dveflem  15198  dvef  15199  efimpi  15291  ptolemy  15296  tangtx  15310  abssinper  15318  1sgm2ppw  15467  perfect1  15470  lgsquad2  15560