Theorem subcl 8526

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8519	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8518	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 6054	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   iota_crio 6037  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500

This theorem is used by:  negcl  8527  subf  8529  pncan3  8535  npcan  8536  addsubass  8537  addsub  8538  addsub12  8540  addsubeq4  8542  npncan  8548  nppcan  8549  nnpcan  8550  nppcan3  8551  subcan2  8552  subsub2  8555  subsub4  8560  nnncan  8562  nnncan1  8563  nnncan2  8564  npncan3  8565  addsub4  8570  subadd4  8571  peano2cnm  8593  subcli  8603  subcld  8638  subeqrev  8703  subdi  8713  subdir  8714  mulsub2  8730  recextlem1  8981  recexap  8983  div2subap  9169  cju  9293  ofnegsub  9294  halfaddsubcl  9542  halfaddsub  9543  iccf1o  10417  ser3sub  10973  sqsubswap  11049  subsq  11096  subsq2  11097  bcn2  11216  pfxccatin12lem1  11514  pfxccatin12lem2  11517  shftval2  11605  2shfti  11610  sqabssub  11836  abssub  11882  abs3dif  11886  abs2dif  11887  abs2difabs  11889  climuni  12075  cjcn2  12098  recn2  12099  imcn2  12100  climsub  12110  fisum0diag2  12230  arisum2  12282  geosergap  12289  geolim  12294  geolim2  12295  georeclim  12296  geo2sum  12297  tanaddap  12522  addsin  12525  fzocongeq  12641  odd2np1  12656  phiprm  13021  pythagtriplem4  13067  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  fldivp1  13147  4sqlem19  13208  cnmet  15680  dveflem  15876  dvef  15877  efimpi  15970  ptolemy  15975  tangtx  15989  abssinper  15997  birthdaylem2  16145  1sgm2ppw  16190  perfect1  16196  lgsquad2  16300