Theorem subcl 8525

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8518	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8517	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 6054	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   iota_crio 6037  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  negcl  8526  subf  8528  pncan3  8534  npcan  8535  addsubass  8536  addsub  8537  addsub12  8539  addsubeq4  8541  npncan  8547  nppcan  8548  nnpcan  8549  nppcan3  8550  subcan2  8551  subsub2  8554  subsub4  8559  nnncan  8561  nnncan1  8562  nnncan2  8563  npncan3  8564  addsub4  8569  subadd4  8570  peano2cnm  8592  subcli  8602  subcld  8637  subeqrev  8702  subdi  8712  subdir  8713  mulsub2  8729  recextlem1  8979  recexap  8981  div2subap  9167  cju  9291  ofnegsub  9292  halfaddsubcl  9538  halfaddsub  9539  iccf1o  10407  ser3sub  10960  sqsubswap  11036  subsq  11083  subsq2  11084  bcn2  11202  pfxccatin12lem1  11500  pfxccatin12lem2  11503  shftval2  11591  2shfti  11596  sqabssub  11822  abssub  11867  abs3dif  11871  abs2dif  11872  abs2difabs  11874  climuni  12059  cjcn2  12082  recn2  12083  imcn2  12084  climsub  12094  fisum0diag2  12214  arisum2  12266  geosergap  12273  geolim  12278  geolim2  12279  georeclim  12280  geo2sum  12281  tanaddap  12506  addsin  12509  fzocongeq  12625  odd2np1  12640  phiprm  13001  pythagtriplem4  13047  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  fldivp1  13127  4sqlem19  13188  cnmet  15631  dveflem  15827  dvef  15828  efimpi  15920  ptolemy  15925  tangtx  15939  abssinper  15947  birthdaylem2  16088  1sgm2ppw  16109  perfect1  16112  lgsquad2  16202