Theorem subcl 8472

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8465	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 8464	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 6019	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2309	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   E!wreu 2522   iota_crio 6002  (class class class)co 6050   CCcc 8125   + caddc 8130   - cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446

This theorem is referenced by:  negcl  8473  subf  8475  pncan3  8481  npcan  8482  addsubass  8483  addsub  8484  addsub12  8486  addsubeq4  8488  npncan  8494  nppcan  8495  nnpcan  8496  nppcan3  8497  subcan2  8498  subsub2  8501  subsub4  8506  nnncan  8508  nnncan1  8509  nnncan2  8510  npncan3  8511  addsub4  8516  subadd4  8517  peano2cnm  8539  subcli  8549  subcld  8584  subeqrev  8649  subdi  8658  subdir  8659  mulsub2  8675  recextlem1  8925  recexap  8927  div2subap  9111  cju  9235  ofnegsub  9236  halfaddsubcl  9471  halfaddsub  9472  iccf1o  10338  ser3sub  10885  sqsubswap  10961  subsq  11008  subsq2  11009  bcn2  11126  pfxccatin12lem1  11420  pfxccatin12lem2  11423  shftval2  11511  2shfti  11516  sqabssub  11741  abssub  11786  abs3dif  11790  abs2dif  11791  abs2difabs  11793  climuni  11978  cjcn2  12001  recn2  12002  imcn2  12003  climsub  12013  fisum0diag2  12133  arisum2  12185  geosergap  12192  geolim  12197  geolim2  12198  georeclim  12199  geo2sum  12200  tanaddap  12425  addsin  12428  fzocongeq  12544  odd2np1  12559  phiprm  12920  pythagtriplem4  12966  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  fldivp1  13046  4sqlem19  13107  cnmet  15395  dveflem  15591  dvef  15592  efimpi  15684  ptolemy  15689  tangtx  15703  abssinper  15711  1sgm2ppw  15863  perfect1  15866  lgsquad2  15956