Theorem subcl 7985

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 7978	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) = ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) )
2		negeu 7977	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
3	2	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( B + x ) = A )
4		riotacl 5752	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B + x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota_ x e. CC ( B + x ) = A ) e. CC )
6	1, 5	eqeltrd 2217	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   E!wreu 2419   iota_crio 5737  (class class class)co 5782   CCcc 7642   + caddc 7647   - cmin 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959

This theorem is referenced by:  negcl  7986  subf  7988  pncan3  7994  npcan  7995  addsubass  7996  addsub  7997  addsub12  7999  addsubeq4  8001  npncan  8007  nppcan  8008  nnpcan  8009  nppcan3  8010  subcan2  8011  subsub2  8014  subsub4  8019  nnncan  8021  nnncan1  8022  nnncan2  8023  npncan3  8024  addsub4  8029  subadd4  8030  peano2cnm  8052  subcli  8062  subcld  8097  subeqrev  8162  subdi  8171  subdir  8172  mulsub2  8188  recextlem1  8436  recexap  8438  div2subap  8620  cju  8743  halfaddsubcl  8977  halfaddsub  8978  iccf1o  9817  ser3sub  10310  sqsubswap  10384  subsq  10430  subsq2  10431  bcn2  10542  shftval2  10630  2shfti  10635  sqabssub  10860  abssub  10905  abs3dif  10909  abs2dif  10910  abs2difabs  10912  climuni  11094  cjcn2  11117  recn2  11118  imcn2  11119  climsub  11129  fisum0diag2  11248  arisum2  11300  geosergap  11307  geolim  11312  geolim2  11313  georeclim  11314  geo2sum  11315  tanaddap  11482  addsin  11485  fzocongeq  11592  odd2np1  11606  phiprm  11935  cnmet  12738  dveflem  12895  dvef  12896  efimpi  12948  ptolemy  12953  tangtx  12967  abssinper  12975