Theorem neitx 14245

Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neitx.x	|- X = U. J
neitx.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
neitx	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Proof of Theorem neitx

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neitx.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	neii1 14124	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> A C_ X )
3	2	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> A C_ X )
4		neitx.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
5	4	neii1 14124	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> B C_ Y )
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> B C_ Y )
7		xpss12 4751	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ B C_ Y ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
9	1, 4	txuni 14240	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
11	8, 10	sseqtrd 3208	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) )
12		simp-5l 543	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
13		simp-4r 542	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a e. J )
14		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b e. K )
15		txopn 14242	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( a e. J /\ b e. K ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
16	12, 13, 14, 15	syl12anc 1247	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
17		simpr1l 1056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> C C_ a )
18	17	3anassrs 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> C C_ a )
19		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> D C_ b )
20		xpss12 4751	. . . . . 6 |- ( ( C C_ a /\ D C_ b ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
22		simpr1r 1057	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> a C_ A )
23	22	3anassrs 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a C_ A )
24		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b C_ B )
25		xpss12 4751	. . . . . 6 |- ( ( a C_ A /\ b C_ B ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
27		sseq2 3194	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( C X. D ) C_ c <-> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) ) )
28		sseq1 3193	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( c C_ ( A X. B ) <-> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) )
29	27, 28	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) <-> ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) )
30	29	rspcev 2856	. . . . 5 |- ( ( ( a X. b ) e. ( J tX K ) /\ ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
31	16, 21, 26, 30	syl12anc 1247	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
32		neii2 14126	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
33	32	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
34	33	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
35	31, 34	r19.29a 2633	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
36		neii2 14126	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
37	36	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
38	35, 37	r19.29a 2633	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
39		txtop 14237	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
40	39	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
41	1	neiss2 14119	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> C C_ X )
42	41	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> C C_ X )
43	4	neiss2 14119	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> D C_ Y )
44	43	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> D C_ Y )
45		xpss12 4751	. . . . 5 |- ( ( C C_ X /\ D C_ Y ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
47	46, 10	sseqtrd 3208	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) )
48		eqid 2189	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
49	48	isnei 14121	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
50	40, 47, 49	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
51	11, 38, 50	mpbir2and 946	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   C_ wss 3144   U.cuni 3824   X. cxp 4642   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Topctop 13974   neicnei 14115   tX ctx 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-topgen 12768  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-nei 14116  df-tx 14230

This theorem is referenced by: (None)