Theorem neitx 12809

Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neitx.x	|- X = U. J
neitx.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
neitx	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Proof of Theorem neitx

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neitx.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	neii1 12688	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> A C_ X )
3	2	ad2ant2r 501	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> A C_ X )
4		neitx.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
5	4	neii1 12688	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> B C_ Y )
6	5	ad2ant2l 500	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> B C_ Y )
7		xpss12 4705	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ B C_ Y ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
8	3, 6, 7	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
9	1, 4	txuni 12804	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
10	9	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
11	8, 10	sseqtrd 3175	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) )
12		simp-5l 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
13		simp-4r 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a e. J )
14		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b e. K )
15		txopn 12806	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( a e. J /\ b e. K ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
16	12, 13, 14, 15	syl12anc 1225	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
17		simpr1l 1043	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> C C_ a )
18	17	3anassrs 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> C C_ a )
19		simprl 521	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> D C_ b )
20		xpss12 4705	. . . . . 6 |- ( ( C C_ a /\ D C_ b ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
22		simpr1r 1044	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> a C_ A )
23	22	3anassrs 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a C_ A )
24		simprr 522	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b C_ B )
25		xpss12 4705	. . . . . 6 |- ( ( a C_ A /\ b C_ B ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
27		sseq2 3161	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( C X. D ) C_ c <-> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) ) )
28		sseq1 3160	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( c C_ ( A X. B ) <-> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) )
29	27, 28	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) <-> ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) )
30	29	rspcev 2825	. . . . 5 |- ( ( ( a X. b ) e. ( J tX K ) /\ ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
31	16, 21, 26, 30	syl12anc 1225	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
32		neii2 12690	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
33	32	ad2ant2l 500	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
34	33	ad2antrr 480	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
35	31, 34	r19.29a 2607	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
36		neii2 12690	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
37	36	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
38	35, 37	r19.29a 2607	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
39		txtop 12801	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
40	39	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
41	1	neiss2 12683	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> C C_ X )
42	41	ad2ant2r 501	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> C C_ X )
43	4	neiss2 12683	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> D C_ Y )
44	43	ad2ant2l 500	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> D C_ Y )
45		xpss12 4705	. . . . 5 |- ( ( C C_ X /\ D C_ Y ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
47	46, 10	sseqtrd 3175	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) )
48		eqid 2164	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
49	48	isnei 12685	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
50	40, 47, 49	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
51	11, 38, 50	mpbir2and 933	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   E.wrex 2443   C_ wss 3111   U.cuni 3783   X. cxp 4596   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   Topctop 12536   neicnei 12679   tX ctx 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-topgen 12513  df-top 12537  df-topon 12550  df-bases 12582  df-nei 12680  df-tx 12794

This theorem is referenced by: (None)