Theorem neitx 14790

Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neitx.x	|- X = U. J
neitx.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
neitx	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Proof of Theorem neitx

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neitx.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	neii1 14669	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> A C_ X )
3	2	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> A C_ X )
4		neitx.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
5	4	neii1 14669	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> B C_ Y )
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> B C_ Y )
7		xpss12 4787	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ B C_ Y ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
9	1, 4	txuni 14785	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
11	8, 10	sseqtrd 3233	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) )
12		simp-5l 543	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
13		simp-4r 542	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a e. J )
14		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b e. K )
15		txopn 14787	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( a e. J /\ b e. K ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
16	12, 13, 14, 15	syl12anc 1248	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
17		simpr1l 1057	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> C C_ a )
18	17	3anassrs 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> C C_ a )
19		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> D C_ b )
20		xpss12 4787	. . . . . 6 |- ( ( C C_ a /\ D C_ b ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
22		simpr1r 1058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> a C_ A )
23	22	3anassrs 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a C_ A )
24		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b C_ B )
25		xpss12 4787	. . . . . 6 |- ( ( a C_ A /\ b C_ B ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
27		sseq2 3219	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( C X. D ) C_ c <-> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) ) )
28		sseq1 3218	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( c C_ ( A X. B ) <-> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) )
29	27, 28	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) <-> ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) )
30	29	rspcev 2879	. . . . 5 |- ( ( ( a X. b ) e. ( J tX K ) /\ ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
31	16, 21, 26, 30	syl12anc 1248	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
32		neii2 14671	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
33	32	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
34	33	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
35	31, 34	r19.29a 2650	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
36		neii2 14671	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
37	36	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
38	35, 37	r19.29a 2650	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
39		txtop 14782	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
40	39	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
41	1	neiss2 14664	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> C C_ X )
42	41	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> C C_ X )
43	4	neiss2 14664	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> D C_ Y )
44	43	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> D C_ Y )
45		xpss12 4787	. . . . 5 |- ( ( C C_ X /\ D C_ Y ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
47	46, 10	sseqtrd 3233	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) )
48		eqid 2206	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
49	48	isnei 14666	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
50	40, 47, 49	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
51	11, 38, 50	mpbir2and 947	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   C_ wss 3168   U.cuni 3853   X. cxp 4678   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   Topctop 14519   neicnei 14660   tX ctx 14774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-topgen 13142  df-top 14520  df-topon 14533  df-bases 14565  df-nei 14661  df-tx 14775

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