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Theorem neitx 12279
Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x  |-  X  = 
U. J
neitx.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
neitx  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) ) )

Proof of Theorem neitx
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21neii1 12159 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  A  C_  X )
32ad2ant2r 498 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  A  C_  X )
4 neitx.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
54neii1 12159 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  B  C_  Y )
65ad2ant2l 497 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  B  C_  Y )
7 xpss12 4606 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  Y )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( X  X.  Y ) )
83, 6, 7syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( X  X.  Y
) )
91, 4txuni 12274 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( J  tX  K ) )
109adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( J  tX  K ) )
118, 10sseqtrd 3101 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
) )
12 simp-5l 515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e. 
Top ) )
13 simp-4r 514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  a  e.  J )
14 simplr 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  b  e.  K )
15 txopn 12276 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  K
) )  ->  (
a  X.  b )  e.  ( J  tX  K ) )
1612, 13, 14, 15syl12anc 1197 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( a  X.  b )  e.  ( J  tX  K ) )
17 simpr1l 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  (
( C  C_  a  /\  a  C_  A )  /\  b  e.  K  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) ) )  ->  C  C_  a )
18173anassrs 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  C  C_  a
)
19 simprl 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  D  C_  b
)
20 xpss12 4606 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  a  /\  D  C_  b )  -> 
( C  X.  D
)  C_  ( a  X.  b ) )
2118, 19, 20syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b ) )
22 simpr1r 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  (
( C  C_  a  /\  a  C_  A )  /\  b  e.  K  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) ) )  ->  a  C_  A )
23223anassrs 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  a  C_  A )
24 simprr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  b  C_  B )
25 xpss12 4606 . . . . . 6  |-  ( ( a  C_  A  /\  b  C_  B )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( A  X.  B ) )
2623, 24, 25syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) )
27 sseq2 3087 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
( C  X.  D
)  C_  c  <->  ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b ) ) )
28 sseq1 3086 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
c  C_  ( A  X.  B )  <->  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) )
2927, 28anbi12d 462 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) ) )
3029rspcev 2760 . . . . 5  |-  ( ( ( a  X.  b
)  e.  ( J 
tX  K )  /\  ( ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
3116, 21, 26, 30syl12anc 1197 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
32 neii2 12161 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3332ad2ant2l 497 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3433ad2antrr 477 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3531, 34r19.29a 2549 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K ) ( ( C  X.  D
)  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
36 neii2 12161 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  E. a  e.  J  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )
3736ad2ant2r 498 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. a  e.  J  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )
3835, 37r19.29a 2549 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
39 txtop 12271 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
4039adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( J  tX  K )  e. 
Top )
411neiss2 12154 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  C  C_  X )
4241ad2ant2r 498 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  C  C_  X )
434neiss2 12154 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  D  C_  Y )
4443ad2ant2l 497 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  D  C_  Y )
45 xpss12 4606 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  X  /\  D  C_  Y )  -> 
( C  X.  D
)  C_  ( X  X.  Y ) )
4642, 44, 45syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( C  X.  D )  C_  ( X  X.  Y
) )
4746, 10sseqtrd 3101 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( C  X.  D )  C_  U. ( J  tX  K
) )
48 eqid 2115 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
4948isnei 12156 . . 3  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  ( C  X.  D
)  C_  U. ( J  tX  K ) )  ->  ( ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
)  /\  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5040, 47, 49syl2anc 406 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( ( nei `  ( J 
tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
)  /\  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5111, 38, 50mpbir2and 911 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2391    C_ wss 3037   U.cuni 3702    X. cxp 4497   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Topctop 12007   neicnei 12150    tX ctx 12263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-nei 12151  df-tx 12264
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