Theorem nnaddcl 8928

Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5877	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A + x ) = ( A + 1 ) )
2	1	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + 1 ) e. NN ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN ) ) )
4		oveq2 5877	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
5	4	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + y ) e. NN ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) ) )
7		oveq2 5877	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A + x ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10		oveq2 5877	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A + x ) = ( A + B ) )
11	10	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + B ) e. NN ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) ) )
13		peano2nn 8920	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
14		peano2nn 8920	. . . . . 6 |- ( ( A + y ) e. NN -> ( ( A + y ) + 1 ) e. NN )
15		nncn 8916	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. CC )
16		nncn 8916	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. CC )
17		ax-1cn 7895	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		addass 7932	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
19	17, 18	mp3an3 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
20	15, 16, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( ( A + y ) + 1 ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
23	22	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 8924	. 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) )
26	25	impcom 125	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5869   CCcc 7800   1c1 7803   + caddc 7805   NNcn 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899  ax-addass 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872  df-inn 8909

This theorem is referenced by:  nnmulcl  8929  nn2ge  8941  nnaddcld  8956  nnnn0addcl  9195  nn0addcl  9200  9p1e10  9375  pythagtriplem4  12251  mulgnndir  12900