Theorem nnaddcl 9162

Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6025	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A + x ) = ( A + 1 ) )
2	1	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + 1 ) e. NN ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN ) ) )
4		oveq2 6025	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
5	4	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + y ) e. NN ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) ) )
7		oveq2 6025	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A + x ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10		oveq2 6025	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A + x ) = ( A + B ) )
11	10	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + B ) e. NN ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) ) )
13		peano2nn 9154	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
14		peano2nn 9154	. . . . . 6 |- ( ( A + y ) e. NN -> ( ( A + y ) + 1 ) e. NN )
15		nncn 9150	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. CC )
16		nncn 9150	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. CC )
17		ax-1cn 8124	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		addass 8161	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
19	17, 18	mp3an3 1362	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
20	15, 16, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( ( A + y ) + 1 ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
23	22	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 9158	. 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) )
26	25	impcom 125	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   CCcc 8029   1c1 8032   + caddc 8034   NNcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128  ax-addass 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  nnmulcl  9163  nn2ge  9175  nnaddcld  9190  nnnn0addcl  9431  nn0addcl  9436  9p1e10  9612  pythagtriplem4  12840  mulgnndir  13737