Theorem nnaddcl 9257

Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A + x ) = ( A + 1 ) )
2	1	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + 1 ) e. NN ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN ) ) )
4		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
5	4	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + y ) e. NN ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) ) )
7		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A + x ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A + x ) = ( A + B ) )
11	10	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + B ) e. NN ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) ) )
13		peano2nn 9249	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
14		peano2nn 9249	. . . . . 6 |- ( ( A + y ) e. NN -> ( ( A + y ) + 1 ) e. NN )
15		nncn 9245	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. CC )
16		nncn 9245	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. CC )
17		ax-1cn 8220	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		addass 8257	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
19	17, 18	mp3an3 1363	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
20	15, 16, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2301	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( ( A + y ) + 1 ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
23	22	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 9253	. 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) )
26	25	impcom 125	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   CCcc 8125   1c1 8128   + caddc 8130   NNcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-addass 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238

This theorem is referenced by:  nnmulcl  9258  nn2ge  9270  nnaddcld  9285  nnnn0addcl  9526  nn0addcl  9531  9p1e10  9711  pythagtriplem4  12966  ballotfilemofi  13138  ballotfilem1  13139  ballotfilemonn  13140  ballotfilem2  13142  mulgnndir  13868