Theorem 9p1e10 9674

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9673	. 2 |- ; 1 0 = ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 )
2		9nn 9371	. . . . . 6 |- 9 e. NN
3		1nn 9213	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnaddcl 9222	. . . . . 6 |- ( ( 9 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 9 + 1 ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 9 + 1 ) e. NN
6	5	nncni 9212	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) e. CC
7	6	mulridi 8241	. . 3 |- ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) = ( 9 + 1 )
8	7	oveq1i 6038	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 ) = ( ( 9 + 1 ) + 0 )
9	6	addridi 8380	. 2 |- ( ( 9 + 1 ) + 0 ) = ( 9 + 1 )
10	1, 8, 9	3eqtrri 2257	1 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   NNcn 9202   9c9 9260  ;cdc 9672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-dec 9673

This theorem is referenced by:  dfdec10  9675  10nn  9687  le9lt10  9698  decsucc  9712  5p5e10  9742  6p4e10  9743  7p3e10  9746  8p2e10  9751  9p2e11  9758  10m1e9  9767  9lt10  9802  sq10e99m1  11038  3dvds  12505  3dvdsdec  12506  3dvds2dec  12507