Theorem 9p1e10 9315

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9314	. 2 |- ; 1 0 = ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 )
2		9nn 9016	. . . . . 6 |- 9 e. NN
3		1nn 8859	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnaddcl 8868	. . . . . 6 |- ( ( 9 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 9 + 1 ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 423	. . . . 5 |- ( 9 + 1 ) e. NN
6	5	nncni 8858	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) e. CC
7	6	mulid1i 7892	. . 3 |- ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) = ( 9 + 1 )
8	7	oveq1i 5846	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 ) = ( ( 9 + 1 ) + 0 )
9	6	addid1i 8031	. 2 |- ( ( 9 + 1 ) + 0 ) = ( 9 + 1 )
10	1, 8, 9	3eqtrri 2190	1 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1342   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   x. cmul 7749   NNcn 8848   9c9 8906  ;cdc 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-5 8910  df-6 8911  df-7 8912  df-8 8913  df-9 8914  df-dec 9314

This theorem is referenced by:  dfdec10  9316  10nn  9328  le9lt10  9339  decsucc  9353  5p5e10  9383  6p4e10  9384  7p3e10  9387  8p2e10  9392  9p2e11  9399  10m1e9  9408  9lt10  9443  sq10e99m1  10615  3dvdsdec  11787  3dvds2dec  11788