Theorem 9p1e10 9177

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9176	. 2 |- ; 1 0 = ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 )
2		9nn 8881	. . . . . 6 |- 9 e. NN
3		1nn 8724	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnaddcl 8733	. . . . . 6 |- ( ( 9 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 9 + 1 ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 422	. . . . 5 |- ( 9 + 1 ) e. NN
6	5	nncni 8723	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) e. CC
7	6	mulid1i 7761	. . 3 |- ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) = ( 9 + 1 )
8	7	oveq1i 5777	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 ) = ( ( 9 + 1 ) + 0 )
9	6	addid1i 7897	. 2 |- ( ( 9 + 1 ) + 0 ) = ( 9 + 1 )
10	1, 8, 9	3eqtrri 2163	1 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   NNcn 8713   9c9 8771  ;cdc 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-dec 9176

This theorem is referenced by:  dfdec10  9178  10nn  9190  le9lt10  9201  decsucc  9215  5p5e10  9245  6p4e10  9246  7p3e10  9249  8p2e10  9254  9p2e11  9261  10m1e9  9270  9lt10  9305  sq10e99m1  10453  3dvdsdec  11551  3dvds2dec  11552