Theorem 9p1e10 9332

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9331	. 2 |- ; 1 0 = ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 )
2		9nn 9033	. . . . . 6 |- 9 e. NN
3		1nn 8876	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnaddcl 8885	. . . . . 6 |- ( ( 9 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 9 + 1 ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 424	. . . . 5 |- ( 9 + 1 ) e. NN
6	5	nncni 8875	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) e. CC
7	6	mulid1i 7909	. . 3 |- ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) = ( 9 + 1 )
8	7	oveq1i 5860	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 ) = ( ( 9 + 1 ) + 0 )
9	6	addid1i 8048	. 2 |- ( ( 9 + 1 ) + 0 ) = ( 9 + 1 )
10	1, 8, 9	3eqtrri 2196	1 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5850   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   x. cmul 7766   NNcn 8865   9c9 8923  ;cdc 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5853  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-dec 9331

This theorem is referenced by:  dfdec10  9333  10nn  9345  le9lt10  9356  decsucc  9370  5p5e10  9400  6p4e10  9401  7p3e10  9404  8p2e10  9409  9p2e11  9416  10m1e9  9425  9lt10  9460  sq10e99m1  10634  3dvdsdec  11811  3dvds2dec  11812