Theorem 9p1e10 9580

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9579	. 2 |- ; 1 0 = ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 )
2		9nn 9279	. . . . . 6 |- 9 e. NN
3		1nn 9121	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnaddcl 9130	. . . . . 6 |- ( ( 9 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 9 + 1 ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 9 + 1 ) e. NN
6	5	nncni 9120	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) e. CC
7	6	mulridi 8148	. . 3 |- ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) = ( 9 + 1 )
8	7	oveq1i 6011	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. 1 ) + 0 ) = ( ( 9 + 1 ) + 0 )
9	6	addridi 8288	. 2 |- ( ( 9 + 1 ) + 0 ) = ( 9 + 1 )
10	1, 8, 9	3eqtrri 2255	1 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   NNcn 9110   9c9 9168  ;cdc 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-dec 9579

This theorem is referenced by:  dfdec10  9581  10nn  9593  le9lt10  9604  decsucc  9618  5p5e10  9648  6p4e10  9649  7p3e10  9652  8p2e10  9657  9p2e11  9664  10m1e9  9673  9lt10  9708  sq10e99m1  10935  3dvds  12375  3dvdsdec  12376  3dvds2dec  12377