ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn2ge Unicode version

Theorem nn2ge 8776
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnaddcl 8763 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )
2 0red 7790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
3 nnre 8750 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 nngt0 8768 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
65adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
72, 4, 6ltled 7904 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
8 nnre 8750 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
98adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 4addge01d 8318 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
117, 10mpbid 146 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
12 nngt0 8768 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1312adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
142, 9, 13ltled 7904 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  A )
154, 9addge02d 8319 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
1614, 15mpbid 146 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
17 breq2 3940 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
18 breq2 3940 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
1917, 18anbi12d 465 . . 3  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  ( A  +  B )  /\  B  <_  ( A  +  B ) ) ) )
2019rspcev 2792 . 2  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  NN  /\  ( A  <_  ( A  +  B )  /\  B  <_  ( A  +  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
211, 11, 16, 20syl12anc 1215 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642   0cc0 7643    + caddc 7646    < clt 7823    <_ cle 7824   NNcn 8743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-iota 5095  df-fv 5138  df-ov 5784  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-inn 8744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator