Theorem nn2ge 8982

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 8969	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
2		0red 7988	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
3		nnre 8956	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
5		nngt0 8974	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7	2, 4, 6	ltled 8106	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
8		nnre 8956	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 4	addge01d 8520	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
11	7, 10	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A <_ ( A + B ) )
12		nngt0 8974	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
14	2, 9, 13	ltled 8106	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
15	4, 9	addge02d 8521	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> B <_ ( A + B ) ) )
16	14, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B <_ ( A + B ) )
17		breq2 4022	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( A + B ) ) )
18		breq2 4022	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( B <_ x <-> B <_ ( A + B ) ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . 3 |- ( x = ( A + B ) -> ( ( A <_ x /\ B <_ x ) <-> ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) )
20	19	rspcev 2856	. 2 |- ( ( ( A + B ) e. NN /\ ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1247	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   RRcr 7840   0cc0 7841   + caddc 7844   < clt 8022   <_ cle 8023   NNcn 8949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5899  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-inn 8950

This theorem is referenced by: (None)