Theorem nn2ge 8881

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 8868	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
2		0red 7891	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
3		nnre 8855	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
5		nngt0 8873	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
6	5	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7	2, 4, 6	ltled 8008	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
8		nnre 8855	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
9	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 4	addge01d 8422	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
11	7, 10	mpbid 146	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A <_ ( A + B ) )
12		nngt0 8873	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
13	12	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
14	2, 9, 13	ltled 8008	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
15	4, 9	addge02d 8423	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> B <_ ( A + B ) ) )
16	14, 15	mpbid 146	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B <_ ( A + B ) )
17		breq2 3980	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( A + B ) ) )
18		breq2 3980	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( B <_ x <-> B <_ ( A + B ) ) )
19	17, 18	anbi12d 465	. . 3 |- ( x = ( A + B ) -> ( ( A <_ x /\ B <_ x ) <-> ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) )
20	19	rspcev 2825	. 2 |- ( ( ( A + B ) e. NN /\ ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1225	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   E.wrex 2443   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   0cc0 7744   + caddc 7747   < clt 7924   <_ cle 7925   NNcn 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-inn 8849

This theorem is referenced by: (None)