Theorem nn2ge 9040

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 9027	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
2		0red 8044	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
3		nnre 9014	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
5		nngt0 9032	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7	2, 4, 6	ltled 8162	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
8		nnre 9014	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 4	addge01d 8577	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
11	7, 10	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A <_ ( A + B ) )
12		nngt0 9032	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
14	2, 9, 13	ltled 8162	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
15	4, 9	addge02d 8578	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> B <_ ( A + B ) ) )
16	14, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B <_ ( A + B ) )
17		breq2 4038	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( A + B ) ) )
18		breq2 4038	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( B <_ x <-> B <_ ( A + B ) ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . 3 |- ( x = ( A + B ) -> ( ( A <_ x /\ B <_ x ) <-> ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) )
20	19	rspcev 2868	. 2 |- ( ( ( A + B ) e. NN /\ ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1247	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   NNcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008

This theorem is referenced by: (None)