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Theorem mulgnndir 13221
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b |- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t |- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p |- .+ = ( +g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables x y z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 12990 . . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
42, 3mgmcl 12942 . . . . . 6 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
51, 4syl3an1 1282 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
653expb 1206 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
76adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
82, 3sgrpass 12991 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
98adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10 simpr2 1006 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. NN )
11 nnuz 9628 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1210, 11eleqtrdi 2286 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13 simpr1 1005 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. NN )
1413nnzd 9438 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
15 eluzadd 9621 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1713nncnd 8996 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. CC )
1810nncnd 8996 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. CC )
1917, 18addcomd 8170 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
20 ax-1cn 7965 . . . . . 6 |- 1 e. CC
21 addcom 8156 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2322fveq2d 5558 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
2416, 19, 233eltr4d 2277 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2513, 11eleqtrdi 2286 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26 simpr3 1007 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> X e. B )
2711, 26ialgrlemconst 12181 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. B )
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10559 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
2913, 10nnaddcld 9030 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. NN )
30 mulgnndir.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
31 eqid 2193 . . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
322, 3, 30, 31mulgnn 13196 . . 3 |- ( ( ( M + N ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
342, 3, 30, 31mulgnn 13196 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
36 elfznn 10120 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
37 fvconst2g 5772 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
39 nnaddcl 9002 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ M e. NN ) -> ( x + M ) e. NN )
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x + M ) e. NN )
41 fvconst2g 5772 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ ( x + M ) e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4226, 40, 41syl2an2r 595 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4338, 42eqtr4d 2229 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) )
44 elnnuz 9629 . . . . . . 7 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4544biimpri 133 . . . . . 6 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
46 fvconst2g 5772 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
47 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
4846, 47eqeltrd 2270 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
4948elexd 2773 . . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
51 1nn 8993 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
5251a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> 1 e. NN )
5313adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> M e. NN )
5452, 53nnaddcld 9030 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( 1 + M ) e. NN )
55 eluznn 9665 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 + M ) e. NN /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5726, 56, 49syl2an2r 595 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
58 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
59 plusgslid 12730 . . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6059slotex 12645 . . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> ( +g ` G ) e. _V )
613, 60eqeltrid 2280 . . . . . . 7 |- ( G e. Smgrp -> .+ e. _V )
6261ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> .+ e. _V )
63 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
64 ovexg 5952 . . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ .+ e. _V /\ v e. _V ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10552 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
672, 3, 30, 31mulgnn 13196 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6922seqeq1d 10524 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) )
7069, 19fveq12d 5561 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
7166, 68, 703eqtr4d 2236 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
7235, 71oveq12d 5936 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
7328, 33, 723eqtr4d 2236 1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   X. cxp 4657   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  Mgmcmgm 12937  Smgrpcsgrp 12984  .gcmg 13189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-minusg 13076  df-mulg 13190
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13222  mulgnnass  13227
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