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Theorem mulgnndir 13904
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b |- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t |- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p |- .+ = ( +g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables x y z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 13670 . . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
42, 3mgmcl 13622 . . . . . 6 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
51, 4syl3an1 1307 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
653expb 1231 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
76adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
82, 3sgrpass 13671 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
98adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10 simpr2 1031 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. NN )
11 nnuz 9908 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1210, 11eleqtrdi 2327 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13 simpr1 1030 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. NN )
1413nnzd 9717 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
15 eluzadd 9901 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1713nncnd 9268 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. CC )
1810nncnd 9268 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. CC )
1917, 18addcomd 8440 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
20 ax-1cn 8236 . . . . . 6 |- 1 e. CC
21 addcom 8426 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2322fveq2d 5679 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
2416, 19, 233eltr4d 2318 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2513, 11eleqtrdi 2327 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26 simpr3 1032 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> X e. B )
2711, 26ialgrlemconst 12765 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. B )
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10874 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
2913, 10nnaddcld 9302 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. NN )
30 mulgnndir.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
31 eqid 2234 . . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
322, 3, 30, 31mulgnn 13879 . . 3 |- ( ( ( M + N ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
342, 3, 30, 31mulgnn 13879 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
36 elfznn 10409 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
37 fvconst2g 5903 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
39 nnaddcl 9274 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ M e. NN ) -> ( x + M ) e. NN )
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x + M ) e. NN )
41 fvconst2g 5903 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ ( x + M ) e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4226, 40, 41syl2an2r 599 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4338, 42eqtr4d 2270 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) )
44 elnnuz 9909 . . . . . . 7 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4544biimpri 133 . . . . . 6 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
46 fvconst2g 5903 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
47 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
4846, 47eqeltrd 2311 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
4948elexd 2829 . . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
51 1nn 9265 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
5251a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> 1 e. NN )
5313adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> M e. NN )
5452, 53nnaddcld 9302 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( 1 + M ) e. NN )
55 eluznn 9950 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 + M ) e. NN /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5726, 56, 49syl2an2r 599 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
58 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
59 plusgslid 13409 . . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6059slotex 13323 . . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> ( +g ` G ) e. _V )
613, 60eqeltrid 2321 . . . . . . 7 |- ( G e. Smgrp -> .+ e. _V )
6261ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> .+ e. _V )
63 simprr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
64 ovexg 6092 . . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ .+ e. _V /\ v e. _V ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10867 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
672, 3, 30, 31mulgnn 13879 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6922seqeq1d 10839 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) )
7069, 19fveq12d 5682 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
7166, 68, 703eqtr4d 2277 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
7235, 71oveq12d 6076 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
7328, 33, 723eqtr4d 2277 1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   X. cxp 4752   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   1c1 8144   + caddc 8146   NNcn 9254   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833   Basecbs 13296   +g cplusg 13374  Mgmcmgm 13617  Smgrpcsgrp 13664  .gcmg 13872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-minusg 13759  df-mulg 13873
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13905  mulgnnass  13910
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