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Theorem mulgnndir 13041
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables  x  y  z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 12831 . . . . . 6  |-  ( G  e. Smgrp  ->  G  e. Mgm )
2 mulgnndir.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mgmcl 12796 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. Mgm  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
51, 4syl3an1 1281 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
653expb 1205 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
76adantlr 477 . . 3  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
82, 3sgrpass 12832 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
98adantlr 477 . . 3  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
10 simpr2 1005 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  N  e.  NN )
11 nnuz 9576 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1210, 11eleqtrdi 2280 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13 simpr1 1004 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  NN )
1413nnzd 9387 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 eluzadd 9569 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )
1713nncnd 8946 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  CC )
1810nncnd 8946 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  N  e.  CC )
1917, 18addcomd 8121 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
20 ax-1cn 7917 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
21 addcom 8107 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
2322fveq2d 5531 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  (
1  +  M ) ) )
2416, 19, 233eltr4d 2271 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2513, 11eleqtrdi 2280 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
26 simpr3 1006 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
2711, 26ialgrlemconst 12056 . . 3  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  x )  e.  B
)
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10492 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) ) )
2913, 10nnaddcld 8980 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
30 mulgnndir.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31 eqid 2187 . . . 4  |-  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )
322, 3, 30, 31mulgnn 13018 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
342, 3, 30, 31mulgnn 13018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
36 elfznn 10067 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
37 fvconst2g 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )  =  X )
39 nnaddcl 8952 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  +  M
)  e.  NN )
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  +  M )  e.  NN )
41 fvconst2g 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( x  +  M
)  e.  NN )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) )  =  X )
4226, 40, 41syl2an2r 595 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) )  =  X )
4338, 42eqtr4d 2223 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) ) )
44 elnnuz 9577 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4544biimpri 133 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
46 fvconst2g 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  =  X )
47 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  X  e.  B )
4846, 47eqeltrd 2264 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  B
)
4948elexd 2762 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
51 1nn 8943 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
5251a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  -> 
1  e.  NN )
5313adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  ->  M  e.  NN )
5452, 53nnaddcld 8980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  -> 
( 1  +  M
)  e.  NN )
55 eluznn 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  M
)  e.  NN  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  ->  u  e.  NN )
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  ->  u  e.  NN )
5726, 56, 49syl2an2r 595 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
58 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  u  e.  _V )
59 plusgslid 12585 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
6059slotex 12502 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. Smgrp  ->  ( +g  `  G
)  e.  _V )
613, 60eqeltrid 2274 . . . . . . 7  |-  ( G  e. Smgrp  ->  .+  e.  _V )
6261ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  .+  e.  _V )
63 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  v  e.  _V )
64 ovexg 5922 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  _V  /\  .+  e.  _V  /\  v  e.  _V )  ->  (
u  .+  v )  e.  _V )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1248 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  _V )
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10486 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 N )  =  (  seq ( 1  +  M ) ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( N  +  M )
) )
672, 3, 30, 31mulgnn 13018 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( N  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
6922seqeq1d 10464 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  seq ( M  +  1 ) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )  =  seq ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) )
7069, 19fveq12d 5534 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
(  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) )  =  (  seq ( 1  +  M ) ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( N  +  M )
) )
7166, 68, 703eqtr4d 2230 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( N  .x.  X
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
7235, 71oveq12d 5906 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) ) )
7328, 33, 723eqtr4d 2230 1  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158   _Vcvv 2749   {csn 3604    X. cxp 4636   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   1c1 7825    + caddc 7827   NNcn 8932   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021    seqcseq 10458   Basecbs 12475   +g cplusg 12550  Mgmcmgm 12791  Smgrpcsgrp 12825  .gcmg 13011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-seqfrec 10459  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-minusg 12900  df-mulg 13012
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13042  mulgnnass  13047
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