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Theorem mulgnndir 13063
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables  x  y  z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 12842 . . . . . 6  |-  ( G  e. Smgrp  ->  G  e. Mgm )
2 mulgnndir.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mgmcl 12807 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. Mgm  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
51, 4syl3an1 1282 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
653expb 1206 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
76adantlr 477 . . 3  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
82, 3sgrpass 12843 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
98adantlr 477 . . 3  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
10 simpr2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  N  e.  NN )
11 nnuz 9582 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1210, 11eleqtrdi 2282 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13 simpr1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  NN )
1413nnzd 9393 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 eluzadd 9575 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )
1713nncnd 8952 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  CC )
1810nncnd 8952 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  N  e.  CC )
1917, 18addcomd 8127 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
20 ax-1cn 7923 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
21 addcom 8113 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
2322fveq2d 5534 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  (
1  +  M ) ) )
2416, 19, 233eltr4d 2273 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2513, 11eleqtrdi 2282 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
26 simpr3 1007 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
2711, 26ialgrlemconst 12062 . . 3  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  x )  e.  B
)
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10498 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) ) )
2913, 10nnaddcld 8986 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
30 mulgnndir.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31 eqid 2189 . . . 4  |-  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )
322, 3, 30, 31mulgnn 13040 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
342, 3, 30, 31mulgnn 13040 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
36 elfznn 10073 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
37 fvconst2g 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )  =  X )
39 nnaddcl 8958 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  +  M
)  e.  NN )
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  +  M )  e.  NN )
41 fvconst2g 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( x  +  M
)  e.  NN )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) )  =  X )
4226, 40, 41syl2an2r 595 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) )  =  X )
4338, 42eqtr4d 2225 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) ) )
44 elnnuz 9583 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4544biimpri 133 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
46 fvconst2g 5746 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  =  X )
47 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  X  e.  B )
4846, 47eqeltrd 2266 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  B
)
4948elexd 2765 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
51 1nn 8949 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
5251a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  -> 
1  e.  NN )
5313adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  ->  M  e.  NN )
5452, 53nnaddcld 8986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  -> 
( 1  +  M
)  e.  NN )
55 eluznn 9619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  M
)  e.  NN  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  ->  u  e.  NN )
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  ->  u  e.  NN )
5726, 56, 49syl2an2r 595 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M
) ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
58 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  u  e.  _V )
59 plusgslid 12596 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
6059slotex 12513 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. Smgrp  ->  ( +g  `  G
)  e.  _V )
613, 60eqeltrid 2276 . . . . . . 7  |-  ( G  e. Smgrp  ->  .+  e.  _V )
6261ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  .+  e.  _V )
63 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  v  e.  _V )
64 ovexg 5925 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  _V  /\  .+  e.  _V  /\  v  e.  _V )  ->  (
u  .+  v )  e.  _V )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  _V )
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10492 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 N )  =  (  seq ( 1  +  M ) ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( N  +  M )
) )
672, 3, 30, 31mulgnn 13040 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( N  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
6922seqeq1d 10470 . . . . 5  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  ->  seq ( M  +  1 ) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )  =  seq ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) )
7069, 19fveq12d 5537 . . . 4  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
(  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) )  =  (  seq ( 1  +  M ) ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( N  +  M )
) )
7166, 68, 703eqtr4d 2232 . . 3  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( N  .x.  X
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
7235, 71oveq12d 5909 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) ) )
7328, 33, 723eqtr4d 2232 1  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607    X. cxp 4639   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7828   1c1 7831    + caddc 7833   NNcn 8938   ZZcz 9272   ZZ>=cuz 9547   ...cfz 10027    seqcseq 10464   Basecbs 12486   +g cplusg 12561  Mgmcmgm 12802  Smgrpcsgrp 12836  .gcmg 13033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-seqfrec 10465  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-minusg 12921  df-mulg 13034
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13064  mulgnnass  13069
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