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Theorem mulgnndir 13818
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b |- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t |- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p |- .+ = ( +g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables x y z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 13570 . . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
42, 3mgmcl 13522 . . . . . 6 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
51, 4syl3an1 1307 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
653expb 1231 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
76adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
82, 3sgrpass 13571 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
98adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10 simpr2 1031 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. NN )
11 nnuz 9853 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1210, 11eleqtrdi 2324 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13 simpr1 1030 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. NN )
1413nnzd 9662 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
15 eluzadd 9846 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1713nncnd 9216 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. CC )
1810nncnd 9216 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. CC )
1917, 18addcomd 8389 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
20 ax-1cn 8185 . . . . . 6 |- 1 e. CC
21 addcom 8375 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2322fveq2d 5652 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
2416, 19, 233eltr4d 2315 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2513, 11eleqtrdi 2324 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26 simpr3 1032 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> X e. B )
2711, 26ialgrlemconst 12695 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. B )
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10813 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
2913, 10nnaddcld 9250 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. NN )
30 mulgnndir.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
31 eqid 2231 . . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
322, 3, 30, 31mulgnn 13793 . . 3 |- ( ( ( M + N ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
342, 3, 30, 31mulgnn 13793 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
36 elfznn 10351 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
37 fvconst2g 5876 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
39 nnaddcl 9222 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ M e. NN ) -> ( x + M ) e. NN )
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x + M ) e. NN )
41 fvconst2g 5876 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ ( x + M ) e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4226, 40, 41syl2an2r 599 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4338, 42eqtr4d 2267 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) )
44 elnnuz 9854 . . . . . . 7 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4544biimpri 133 . . . . . 6 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
46 fvconst2g 5876 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
47 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
4846, 47eqeltrd 2308 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
4948elexd 2817 . . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
51 1nn 9213 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
5251a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> 1 e. NN )
5313adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> M e. NN )
5452, 53nnaddcld 9250 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( 1 + M ) e. NN )
55 eluznn 9895 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 + M ) e. NN /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5726, 56, 49syl2an2r 599 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
58 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
59 plusgslid 13275 . . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6059slotex 13189 . . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> ( +g ` G ) e. _V )
613, 60eqeltrid 2318 . . . . . . 7 |- ( G e. Smgrp -> .+ e. _V )
6261ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> .+ e. _V )
63 simprr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
64 ovexg 6062 . . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ .+ e. _V /\ v e. _V ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10806 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
672, 3, 30, 31mulgnn 13793 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6922seqeq1d 10778 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) )
7069, 19fveq12d 5655 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
7166, 68, 703eqtr4d 2274 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
7235, 71oveq12d 6046 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
7328, 33, 723eqtr4d 2274 1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   {csn 3673   X. cxp 4729   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   1c1 8093   + caddc 8095   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   seqcseq 10772   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  Mgmcmgm 13517  Smgrpcsgrp 13564  .gcmg 13786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-seqfrec 10773  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-minusg 13667  df-mulg 13787
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13819  mulgnnass  13824
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