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Theorem mulgnndir 13737
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b |- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t |- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p |- .+ = ( +g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables x y z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 13489 . . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
42, 3mgmcl 13441 . . . . . 6 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
51, 4syl3an1 1306 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
653expb 1230 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
76adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
82, 3sgrpass 13490 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
98adantlr 477 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10 simpr2 1030 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. NN )
11 nnuz 9791 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1210, 11eleqtrdi 2324 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13 simpr1 1029 . . . . . 6 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. NN )
1413nnzd 9600 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
15 eluzadd 9784 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
1713nncnd 9156 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. CC )
1810nncnd 9156 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> N e. CC )
1917, 18addcomd 8329 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
20 ax-1cn 8124 . . . . . 6 |- 1 e. CC
21 addcom 8315 . . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + 1 ) = ( 1 + M ) )
2322fveq2d 5643 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) )
2416, 19, 233eltr4d 2315 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2513, 11eleqtrdi 2324 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26 simpr3 1031 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> X e. B )
2711, 26ialgrlemconst 12614 . . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. B )
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10749 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
2913, 10nnaddcld 9190 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. NN )
30 mulgnndir.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
31 eqid 2231 . . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
322, 3, 30, 31mulgnn 13712 . . 3 |- ( ( ( M + N ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
342, 3, 30, 31mulgnn 13712 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
36 elfznn 10288 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
37 fvconst2g 5867 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
39 nnaddcl 9162 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ M e. NN ) -> ( x + M ) e. NN )
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x + M ) e. NN )
41 fvconst2g 5867 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ ( x + M ) e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4226, 40, 41syl2an2r 599 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) = X )
4338, 42eqtr4d 2267 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` ( x + M ) ) )
44 elnnuz 9792 . . . . . . 7 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4544biimpri 133 . . . . . 6 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
46 fvconst2g 5867 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
47 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
4846, 47eqeltrd 2308 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
4948elexd 2816 . . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
51 1nn 9153 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
5251a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> 1 e. NN )
5313adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> M e. NN )
5452, 53nnaddcld 9190 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( 1 + M ) e. NN )
55 eluznn 9833 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 + M ) e. NN /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> u e. NN )
5726, 56, 49syl2an2r 599 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` ( 1 + M ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
58 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
59 plusgslid 13194 . . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6059slotex 13108 . . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> ( +g ` G ) e. _V )
613, 60eqeltrid 2318 . . . . . . 7 |- ( G e. Smgrp -> .+ e. _V )
6261ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> .+ e. _V )
63 simprr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
64 ovexg 6051 . . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ .+ e. _V /\ v e. _V ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1273 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u .+ v ) e. _V )
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10742 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
672, 3, 30, 31mulgnn 13712 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
6922seqeq1d 10714 . . . . 5 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) )
7069, 19fveq12d 5646 . . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) = ( seq ( 1 + M ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( N + M ) ) )
7166, 68, 703eqtr4d 2274 . . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( N .x. X ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) )
7235, 71oveq12d 6035 . 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` ( M + N ) ) ) )
7328, 33, 723eqtr4d 2274 1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {csn 3669   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   1c1 8032   + caddc 8034   NNcn 9142   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Mgmcmgm 13436  Smgrpcsgrp 13483  .gcmg 13705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-minusg 13586  df-mulg 13706
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13738  mulgnnass  13743
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