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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgnndir | Unicode version |
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
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mulgnndir.b |
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mulgnndir.t |
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mulgnndir.p |
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Ref | Expression |
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mulgnndir |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | sgrpmgm 12842 |
. . . . . 6
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2 | mulgnndir.b |
. . . . . . 7
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3 | mulgnndir.p |
. . . . . . 7
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4 | 2, 3 | mgmcl 12807 |
. . . . . 6
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5 | 1, 4 | syl3an1 1282 |
. . . . 5
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6 | 5 | 3expb 1206 |
. . . 4
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7 | 6 | adantlr 477 |
. . 3
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8 | 2, 3 | sgrpass 12843 |
. . . 4
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9 | 8 | adantlr 477 |
. . 3
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10 | simpr2 1006 |
. . . . . 6
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11 | nnuz 9582 |
. . . . . 6
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12 | 10, 11 | eleqtrdi 2282 |
. . . . 5
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13 | simpr1 1005 |
. . . . . 6
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14 | 13 | nnzd 9393 |
. . . . 5
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15 | eluzadd 9575 |
. . . . 5
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16 | 12, 14, 15 | syl2anc 411 |
. . . 4
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17 | 13 | nncnd 8952 |
. . . . 5
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18 | 10 | nncnd 8952 |
. . . . 5
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19 | 17, 18 | addcomd 8127 |
. . . 4
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20 | ax-1cn 7923 |
. . . . . 6
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21 | addcom 8113 |
. . . . . 6
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22 | 17, 20, 21 | sylancl 413 |
. . . . 5
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23 | 22 | fveq2d 5534 |
. . . 4
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24 | 16, 19, 23 | 3eltr4d 2273 |
. . 3
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25 | 13, 11 | eleqtrdi 2282 |
. . 3
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26 | simpr3 1007 |
. . . 4
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27 | 11, 26 | ialgrlemconst 12062 |
. . 3
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28 | 7, 9, 24, 25, 27 | seq3split 10498 |
. 2
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29 | 13, 10 | nnaddcld 8986 |
. . 3
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30 | mulgnndir.t |
. . . 4
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31 | eqid 2189 |
. . . 4
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32 | 2, 3, 30, 31 | mulgnn 13040 |
. . 3
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33 | 29, 26, 32 | syl2anc 411 |
. 2
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34 | 2, 3, 30, 31 | mulgnn 13040 |
. . . 4
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35 | 13, 26, 34 | syl2anc 411 |
. . 3
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36 | elfznn 10073 |
. . . . . . 7
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37 | fvconst2g 5746 |
. . . . . . 7
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38 | 26, 36, 37 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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39 | nnaddcl 8958 |
. . . . . . . 8
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40 | 36, 13, 39 | syl2anr 290 |
. . . . . . 7
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41 | fvconst2g 5746 |
. . . . . . 7
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42 | 26, 40, 41 | syl2an2r 595 |
. . . . . 6
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43 | 38, 42 | eqtr4d 2225 |
. . . . 5
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44 | elnnuz 9583 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | biimpri 133 |
. . . . . 6
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46 | fvconst2g 5746 |
. . . . . . . 8
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47 | simpl 109 |
. . . . . . . 8
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48 | 46, 47 | eqeltrd 2266 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | elexd 2765 |
. . . . . 6
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50 | 26, 45, 49 | syl2an 289 |
. . . . 5
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51 | 1nn 8949 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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53 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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54 | 52, 53 | nnaddcld 8986 |
. . . . . . 7
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55 | eluznn 9619 |
. . . . . . 7
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56 | 54, 55 | sylancom 420 |
. . . . . 6
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57 | 26, 56, 49 | syl2an2r 595 |
. . . . 5
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58 | simprl 529 |
. . . . . 6
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59 | plusgslid 12596 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | slotex 12513 |
. . . . . . . 8
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61 | 3, 60 | eqeltrid 2276 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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63 | simprr 531 |
. . . . . 6
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64 | ovexg 5925 |
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65 | 58, 62, 63, 64 | syl3anc 1249 |
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66 | 12, 14, 43, 50, 57, 65 | seq3shft2 10492 |
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67 | 2, 3, 30, 31 | mulgnn 13040 |
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68 | 10, 26, 67 | syl2anc 411 |
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69 | 22 | seqeq1d 10470 |
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70 | 69, 19 | fveq12d 5537 |
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71 | 66, 68, 70 | 3eqtr4d 2232 |
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72 | 35, 71 | oveq12d 5909 |
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73 | 28, 33, 72 | 3eqtr4d 2232 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-addcom 7930 ax-addass 7932 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-ltadd 7946 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-frec 6410 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-inn 8939 df-2 8997 df-n0 9196 df-z 9273 df-uz 9548 df-fz 10028 df-seqfrec 10465 df-ndx 12489 df-slot 12490 df-base 12492 df-plusg 12574 df-0g 12735 df-mgm 12804 df-sgrp 12837 df-minusg 12921 df-mulg 13034 |
This theorem is referenced by: mulgnn0dir 13064 mulgnnass 13069 |
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