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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pythagtriplem4 | Unicode version |
Description: Lemma for pythagtrip 12282. Show that ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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pythagtriplem4 |
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1 | simp3r 1026 |
. . 3
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2 | nnz 9271 |
. . . . . . . . . . . . 13
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3 | nnz 9271 |
. . . . . . . . . . . . 13
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4 | zsubcl 9293 |
. . . . . . . . . . . . 13
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5 | 2, 3, 4 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . 12
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6 | 5 | 3adant1 1015 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 6 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . 10
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8 | simp13 1029 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | simp12 1028 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 8, 9 | nnaddcld 8966 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . . 10
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12 | gcddvds 11963 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 7, 11, 12 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | simprd 114 |
. . . . . . . 8
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15 | breq1 4006 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | biimpd 144 |
. . . . . . . 8
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17 | 14, 16 | mpan9 281 |
. . . . . . 7
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18 | 2z 9280 |
. . . . . . . 8
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19 | simpl13 1074 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . 9
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21 | simpl12 1073 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . 9
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23 | 20, 22 | zaddcld 9378 |
. . . . . . . 8
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24 | 20, 22 | zsubcld 9379 |
. . . . . . . 8
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25 | dvdsmultr1 11837 |
. . . . . . . 8
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26 | 18, 23, 24, 25 | mp3an2i 1342 |
. . . . . . 7
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27 | 17, 26 | mpd 13 |
. . . . . 6
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28 | 19 | nncnd 8932 |
. . . . . . 7
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29 | 21 | nncnd 8932 |
. . . . . . 7
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30 | subsq 10626 |
. . . . . . 7
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31 | 28, 29, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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32 | 27, 31 | breqtrrd 4031 |
. . . . 5
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33 | simpl2 1001 |
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34 | 33 | oveq1d 5889 |
. . . . . 6
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35 | simpl11 1072 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | nnsqcld 10674 |
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38 | 21 | nnsqcld 10674 |
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40 | 37, 39 | pncand 8268 |
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41 | 34, 40 | eqtr3d 2212 |
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42 | 32, 41 | breqtrd 4029 |
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43 | nnz 9271 |
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44 | 43 | 3ad2ant1 1018 |
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46 | 45 | adantr 276 |
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47 | 2prm 12126 |
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48 | 2nn 9079 |
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49 | prmdvdsexp 12147 |
. . . . . 6
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50 | 47, 48, 49 | mp3an13 1328 |
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52 | 42, 51 | mpbid 147 |
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53 | 1, 52 | mtand 665 |
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54 | neg1z 9284 |
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55 | gcdaddm 11984 |
. . . . . . . 8
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56 | 54, 7, 11, 55 | mp3an2i 1342 |
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57 | 8 | nncnd 8932 |
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. . . . . . . 8
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59 | pnncan 8197 |
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60 | 59 | 3anidm23 1297 |
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61 | subcl 8155 |
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63 | 62 | oveq2d 5890 |
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64 | addcl 7935 |
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66 | 63, 65 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 2times 9046 |
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68 | 67 | adantl 277 |
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69 | 60, 66, 68 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . 9
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70 | 69 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
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71 | 57, 58, 70 | syl2anc 411 |
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72 | 56, 71 | eqtrd 2210 |
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74 | zmulcl 9305 |
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75 | 18, 73, 74 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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76 | gcddvds 11963 |
. . . . . . . 8
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77 | 7, 75, 76 | syl2anc 411 |
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78 | 77 | simprd 114 |
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79 | 72, 78 | eqbrtrd 4025 |
. . . . 5
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80 | 1z 9278 |
. . . . . . . 8
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81 | gcdaddm 11984 |
. . . . . . . 8
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82 | 80, 7, 11, 81 | mp3an2i 1342 |
. . . . . . 7
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83 | ppncan 8198 |
. . . . . . . . . . 11
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84 | 83 | 3anidm13 1296 |
. . . . . . . . . 10
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85 | 61 | mulid2d 7975 |
. . . . . . . . . . 11
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86 | 85 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . 10
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87 | 2times 9046 |
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88 | 87 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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89 | 84, 86, 88 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . 9
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90 | 57, 58, 89 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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91 | 90 | oveq2d 5890 |
. . . . . . 7
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92 | 82, 91 | eqtrd 2210 |
. . . . . 6
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93 | 8 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . 9
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94 | zmulcl 9305 |
. . . . . . . . 9
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95 | 18, 93, 94 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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96 | gcddvds 11963 |
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97 | 7, 95, 96 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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98 | 97 | simprd 114 |
. . . . . 6
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99 | 92, 98 | eqbrtrd 4025 |
. . . . 5
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100 | nnaddcl 8938 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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101 | 100 | nnne0d 8963 |
. . . . . . . . . . . . 13
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102 | 101 | ancoms 268 |
. . . . . . . . . . . 12
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103 | 102 | 3adant1 1015 |
. . . . . . . . . . 11
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104 | 103 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . 10
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105 | 104 | neneqd 2368 |
. . . . . . . . 9
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106 | 105 | intnand 931 |
. . . . . . . 8
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107 | gcdn0cl 11962 |
. . . . . . . 8
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108 | 7, 11, 106, 107 | syl21anc 1237 |
. . . . . . 7
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109 | 108 | nnzd 9373 |
. . . . . 6
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110 | dvdsgcd 12012 |
. . . . . 6
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111 | 109, 75, 95, 110 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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112 | 79, 99, 111 | mp2and 433 |
. . . 4
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113 | 2nn0 9192 |
. . . . . 6
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114 | mulgcd 12016 |
. . . . . 6
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115 | 113, 73, 93, 114 | mp3an2i 1342 |
. . . . 5
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116 | pythagtriplem3 12266 |
. . . . . . 7
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117 | 116 | oveq2d 5890 |
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118 | 2t1e2 9071 |
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119 | 117, 118 | eqtrdi 2226 |
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120 | 115, 119 | eqtrd 2210 |
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121 | 112, 120 | breqtrd 4029 |
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122 | dvdsprime 12121 |
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123 | 47, 108, 122 | sylancr 414 |
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124 | 121, 123 | mpbid 147 |
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125 | orel1 725 |
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126 | 53, 124, 125 | sylc 62 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-1o 6416 df-2o 6417 df-er 6534 df-en 6740 df-sup 6982 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-fl 10269 df-mod 10322 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-dvds 11794 df-gcd 11943 df-prm 12107 |
This theorem is referenced by: pythagtriplem6 12269 pythagtriplem7 12270 |
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