ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcxmas Unicode version

Theorem bcxmas 11452
Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcxmas  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Distinct variable groups:    j, M    j, N

Proof of Theorem bcxmas
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcxmaslem1 11451 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 ) )
2 oveq2 5861 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
32sumeq1d 11329 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
41, 3eqeq12d 2185 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
6 bcxmaslem1 11451 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7 oveq2 5861 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... k
) )
87sumeq1d 11329 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
96, 8eqeq12d 2185 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
109imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
11 bcxmaslem1 11451 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 5861 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) )
1312sumeq1d 11329 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1411, 13eqeq12d 2185 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
16 bcxmaslem1 11451 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M ) )
17 oveq2 5861 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... M
) )
1817sumeq1d 11329 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1916, 18eqeq12d 2185 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
2019imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
21 0nn0 9150 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 9170 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  e.  NN0 )
23 bcn0 10689 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
0 )  _C  0
)  =  1 )
2521, 24mpan2 423 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
26 0z 9223 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
27 1nn0 9151 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2825, 27eqeltrdi 2261 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e. 
NN0 )
2928nn0cnd 9190 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e.  CC )
30 bcxmaslem1 11451 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3130fsum1 11375 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
0 )  _C  0
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3226, 29, 31sylancr 412 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
33 peano2nn0 9175 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
34 nn0addcl 9170 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  0 )  e.  NN0 )
3533, 21, 34sylancl 411 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  0 )  e. 
NN0 )
36 bcn0 10689 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3735, 36syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3825, 32, 373eqtr4rd 2214 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
40 elnn0uz 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4139, 40sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
43 elfznn0 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
44 nn0addcl 9170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( N  +  j )  e.  NN0 )
4542, 43, 44syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  j )  e.  NN0 )
46 elfzelz 9981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
48 bccl 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  j )  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j
)  e.  NN0 )
4945, 47, 48syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  NN0 )
5049nn0cnd 9190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  CC )
51 bcxmaslem1 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
5241, 50, 51fsump1 11383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
53 nn0cn 9145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
55 nn0cn 9145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
57 1cnd 7936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
58 add32r 8079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
6059oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )
6160oveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6252, 61eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6362adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6564adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
66 ax-1cn 7867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
67 pncan 8125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6856, 66, 67sylancl 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6968oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7069oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) ) )
71 nn0addcl 9170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
7233, 71sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
73 nn0p1nn 9174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
7473adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
7574nnzd 9333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
76 bcpasc 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7870, 77eqtr3d 2205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
79 nn0p1nn 9174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
80 nnnn0addcl 9165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8179, 80sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8281nnnn0d 9188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
83 bccl 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8482, 75, 83syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 9190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
86 nn0z 9232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8786adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ZZ )
88 bccl 10701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
8971, 87, 88syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9033, 89sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9190nn0cnd 9190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  CC )
9285, 91addcomd 8070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
93 peano2cn 8054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9453, 93syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9594adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
9695, 56, 57addassd 7942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
9796oveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9878, 92, 973eqtr3d 2211 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9998adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
10063, 65, 993eqtr2rd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
101100ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) ) )
102101expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
1045, 10, 15, 20, 38, 103nn0ind 9326 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
105104impcom 124 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    - cmin 8090   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965    _C cbc 10681   sum_csu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by:  arisum  11461
  Copyright terms: Public domain W3C validator