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Theorem bcxmas 11511
Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcxmas  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Distinct variable groups:    j, M    j, N

Proof of Theorem bcxmas
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcxmaslem1 11510 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 ) )
2 oveq2 5896 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
32sumeq1d 11388 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
41, 3eqeq12d 2202 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
54imbi2d 230 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
6 bcxmaslem1 11510 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7 oveq2 5896 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... k
) )
87sumeq1d 11388 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
96, 8eqeq12d 2202 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
109imbi2d 230 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
11 bcxmaslem1 11510 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 5896 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) )
1312sumeq1d 11388 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1411, 13eqeq12d 2202 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
1514imbi2d 230 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
16 bcxmaslem1 11510 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M ) )
17 oveq2 5896 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... M
) )
1817sumeq1d 11388 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1916, 18eqeq12d 2202 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
2019imbi2d 230 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
21 0nn0 9205 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 9225 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  e.  NN0 )
23 bcn0 10749 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
0 )  _C  0
)  =  1 )
2521, 24mpan2 425 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
26 0z 9278 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
27 1nn0 9206 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2825, 27eqeltrdi 2278 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e. 
NN0 )
2928nn0cnd 9245 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e.  CC )
30 bcxmaslem1 11510 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3130fsum1 11434 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
0 )  _C  0
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3226, 29, 31sylancr 414 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
33 peano2nn0 9230 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
34 nn0addcl 9225 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  0 )  e.  NN0 )
3533, 21, 34sylancl 413 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  0 )  e. 
NN0 )
36 bcn0 10749 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3735, 36syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3825, 32, 373eqtr4rd 2231 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )
39 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
40 elnn0uz 9579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4139, 40sylib 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
43 elfznn0 10128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
44 nn0addcl 9225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( N  +  j )  e.  NN0 )
4542, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  j )  e.  NN0 )
46 elfzelz 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
4746adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
48 bccl 10761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  j )  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j
)  e.  NN0 )
4945, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  NN0 )
5049nn0cnd 9245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  CC )
51 bcxmaslem1 11510 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
5241, 50, 51fsump1 11442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
53 nn0cn 9200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
55 nn0cn 9200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
5655adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
57 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
58 add32r 8131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
6059oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )
6160oveq2d 5904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6252, 61eqtrd 2220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6362adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 5895 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6564adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
66 ax-1cn 7918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
67 pncan 8177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6856, 66, 67sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6968oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7069oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) ) )
71 nn0addcl 9225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
7233, 71sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
73 nn0p1nn 9229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
7473adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
7574nnzd 9388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
76 bcpasc 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7870, 77eqtr3d 2222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
79 nn0p1nn 9229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
80 nnnn0addcl 9220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8179, 80sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8281nnnn0d 9243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
83 bccl 10761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8482, 75, 83syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 9245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
86 nn0z 9287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8786adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ZZ )
88 bccl 10761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
8971, 87, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9033, 89sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9190nn0cnd 9245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  CC )
9285, 91addcomd 8122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
93 peano2cn 8106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9453, 93syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9594adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
9695, 56, 57addassd 7994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
9796oveq1d 5903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9878, 92, 973eqtr3d 2228 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9998adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
10063, 65, 993eqtr2rd 2227 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
101100ex 115 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) ) )
102101expcom 116 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
1045, 10, 15, 20, 38, 103nn0ind 9381 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
105104impcom 125 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825   1c1 7826    + caddc 7828    - cmin 8142   NNcn 8933   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022    _C cbc 10741   sum_csu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
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