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Theorem bcxmas 11390
Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcxmas  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Distinct variable groups:    j, M    j, N

Proof of Theorem bcxmas
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcxmaslem1 11389 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 ) )
2 oveq2 5833 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
32sumeq1d 11267 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
41, 3eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
6 bcxmaslem1 11389 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7 oveq2 5833 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... k
) )
87sumeq1d 11267 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
96, 8eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
109imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
11 bcxmaslem1 11389 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 5833 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) )
1312sumeq1d 11267 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1411, 13eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
16 bcxmaslem1 11389 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M ) )
17 oveq2 5833 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... M
) )
1817sumeq1d 11267 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1916, 18eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
2019imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
21 0nn0 9106 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 9126 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  e.  NN0 )
23 bcn0 10633 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
0 )  _C  0
)  =  1 )
2521, 24mpan2 422 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
26 0z 9179 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
27 1nn0 9107 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2825, 27eqeltrdi 2248 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e. 
NN0 )
2928nn0cnd 9146 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e.  CC )
30 bcxmaslem1 11389 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3130fsum1 11313 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
0 )  _C  0
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3226, 29, 31sylancr 411 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
33 peano2nn0 9131 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
34 nn0addcl 9126 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  0 )  e.  NN0 )
3533, 21, 34sylancl 410 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  0 )  e. 
NN0 )
36 bcn0 10633 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3735, 36syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3825, 32, 373eqtr4rd 2201 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
40 elnn0uz 9477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4139, 40sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
43 elfznn0 10017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
44 nn0addcl 9126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( N  +  j )  e.  NN0 )
4542, 43, 44syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  j )  e.  NN0 )
46 elfzelz 9929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
48 bccl 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  j )  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j
)  e.  NN0 )
4945, 47, 48syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  NN0 )
5049nn0cnd 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  CC )
51 bcxmaslem1 11389 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
5241, 50, 51fsump1 11321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
53 nn0cn 9101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
55 nn0cn 9101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
57 1cnd 7895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
58 add32r 8036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
6059oveq1d 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )
6160oveq2d 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6252, 61eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6362adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 5832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6564adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
66 ax-1cn 7826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
67 pncan 8082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6856, 66, 67sylancl 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6968oveq2d 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7069oveq2d 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) ) )
71 nn0addcl 9126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
7233, 71sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
73 nn0p1nn 9130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
7473adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
7574nnzd 9286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
76 bcpasc 10644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7870, 77eqtr3d 2192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
79 nn0p1nn 9130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
80 nnnn0addcl 9121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8179, 80sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8281nnnn0d 9144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
83 bccl 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8482, 75, 83syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
86 nn0z 9188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8786adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ZZ )
88 bccl 10645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
8971, 87, 88syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9033, 89sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9190nn0cnd 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  CC )
9285, 91addcomd 8027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
93 peano2cn 8011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9453, 93syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9594adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
9695, 56, 57addassd 7901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
9796oveq1d 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9878, 92, 973eqtr3d 2198 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9998adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
10063, 65, 993eqtr2rd 2197 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
101100ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) ) )
102101expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
1045, 10, 15, 20, 38, 103nn0ind 9279 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
105104impcom 124 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   CCcc 7731   0cc0 7733   1c1 7734    + caddc 7736    - cmin 8047   NNcn 8834   NN0cn0 9091   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913    _C cbc 10625   sum_csu 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-fac 10604  df-bc 10626  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-sumdc 11255
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