Theorem bcxmas 12234

Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcxmas	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N

Proof of Theorem bcxmas

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcxmaslem1 12233	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) )
2		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 12110	. . . . 5 |- ( m = 0 -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
4	1, 3	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
6		bcxmaslem1 12233	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
7		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... k ) )
8	7	sumeq1d 12110	. . . . 5 |- ( m = k -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) )
9	6, 8	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
11		bcxmaslem1 12233	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
12		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( k + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 12110	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
14	11, 13	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
16		bcxmaslem1 12233	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) )
17		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... M ) )
18	17	sumeq1d 12110	. . . . 5 |- ( m = M -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )
19	16, 18	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
21		0nn0 9557	. . . . 5 |- 0 e. NN0
22		nn0addcl 9577	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( N + 0 ) e. NN0 )
23		bcn0 11171	. . . . . 6 |- ( ( N + 0 ) e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
25	21, 24	mpan2 429	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
26		0z 9634	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27		1nn0 9558	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
28	25, 27	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. NN0 )
29	28	nn0cnd 9601	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC )
30		bcxmaslem1 12233	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
31	30	fsum1 12157	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
32	26, 29, 31	sylancr 418	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
33		peano2nn0 9582	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
34		nn0addcl 9577	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
35	33, 21, 34	sylancl 417	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
36		bcn0 11171	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
38	25, 32, 37	3eqtr4rd 2282	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
40		elnn0uz 9939	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
41	39, 40	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. NN0 )
43		elfznn0 10499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
44		nn0addcl 9577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( N + j ) e. NN0 )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( N + j ) e. NN0 )
46		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. ZZ )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
48		bccl 11183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + j ) e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. CC )
51		bcxmaslem1 12233	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
52	41, 50, 51	fsump1 12165	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) )
53		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
55		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
57		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
58		add32r 8476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
60	59	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) )
61	60	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
62	52, 61	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
64		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
66		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
68	56, 66, 67	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
69	68	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
70	69	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) )
71		nn0addcl 9577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
72	33, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
73		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
75	74	nnzd 9746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
76		bcpasc 11182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
78	70, 77	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
79		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
80		nnnn0addcl 9572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
81	79, 80	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
82	81	nnnn0d 9599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
83		bccl 11183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
84	82, 75, 83	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. CC )
86		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
88		bccl 11183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
89	71, 87, 88	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
90	33, 89	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
91	90	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. CC )
92	85, 91	addcomd 8467	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
93		peano2cn 8451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
94	53, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
95	94	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
96	95, 56, 57	addassd 8338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) )
97	96	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
98	78, 92, 97	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
100	63, 65, 99	3eqtr2rd 2278	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
101	100	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
104	5, 10, 15, 20, 38, 103	nn0ind 9739	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
105	104	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   _C cbc 11163   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  arisum  12243