Theorem bcxmas 11833

Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcxmas	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N

Proof of Theorem bcxmas

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcxmaslem1 11832	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) )
2		oveq2 5954	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 11710	. . . . 5 |- ( m = 0 -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
4	1, 3	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
6		bcxmaslem1 11832	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
7		oveq2 5954	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... k ) )
8	7	sumeq1d 11710	. . . . 5 |- ( m = k -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) )
9	6, 8	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
11		bcxmaslem1 11832	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
12		oveq2 5954	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( k + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 11710	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
14	11, 13	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
16		bcxmaslem1 11832	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) )
17		oveq2 5954	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... M ) )
18	17	sumeq1d 11710	. . . . 5 |- ( m = M -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )
19	16, 18	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
21		0nn0 9312	. . . . 5 |- 0 e. NN0
22		nn0addcl 9332	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( N + 0 ) e. NN0 )
23		bcn0 10902	. . . . . 6 |- ( ( N + 0 ) e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
25	21, 24	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
26		0z 9385	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27		1nn0 9313	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
28	25, 27	eqeltrdi 2296	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. NN0 )
29	28	nn0cnd 9352	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC )
30		bcxmaslem1 11832	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
31	30	fsum1 11756	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
32	26, 29, 31	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
33		peano2nn0 9337	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
34		nn0addcl 9332	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
35	33, 21, 34	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
36		bcn0 10902	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
38	25, 32, 37	3eqtr4rd 2249	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
40		elnn0uz 9688	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
41	39, 40	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. NN0 )
43		elfznn0 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
44		nn0addcl 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( N + j ) e. NN0 )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( N + j ) e. NN0 )
46		elfzelz 10149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. ZZ )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
48		bccl 10914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + j ) e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 9352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. CC )
51		bcxmaslem1 11832	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
52	41, 50, 51	fsump1 11764	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) )
53		nn0cn 9307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
55		nn0cn 9307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
57		1cnd 8090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
58		add32r 8234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
60	59	oveq1d 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) )
61	60	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
62	52, 61	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
64		oveq1 5953	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
66		ax-1cn 8020	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67		pncan 8280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
68	56, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
69	68	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
70	69	oveq2d 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) )
71		nn0addcl 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
72	33, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
73		nn0p1nn 9336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
75	74	nnzd 9496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
76		bcpasc 10913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
78	70, 77	eqtr3d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
79		nn0p1nn 9336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
80		nnnn0addcl 9327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
81	79, 80	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
82	81	nnnn0d 9350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
83		bccl 10914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0cnd 9352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. CC )
86		nn0z 9394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
88		bccl 10914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
89	71, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
90	33, 89	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
91	90	nn0cnd 9352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. CC )
92	85, 91	addcomd 8225	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
93		peano2cn 8209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
94	53, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
95	94	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
96	95, 56, 57	addassd 8097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) )
97	96	oveq1d 5961	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
98	78, 92, 97	3eqtr3d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
100	63, 65, 99	3eqtr2rd 2245	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
101	100	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
104	5, 10, 15, 20, 38, 103	nn0ind 9489	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
105	104	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132   _C cbc 10894   sum_csu 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-fac 10873  df-bc 10895  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698

This theorem is referenced by:  arisum  11842