Theorem bcxmas 12130

Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcxmas	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N

Proof of Theorem bcxmas

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcxmaslem1 12129	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) )
2		oveq2 6036	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 12006	. . . . 5 |- ( m = 0 -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
4	1, 3	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
6		bcxmaslem1 12129	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
7		oveq2 6036	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... k ) )
8	7	sumeq1d 12006	. . . . 5 |- ( m = k -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) )
9	6, 8	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
11		bcxmaslem1 12129	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
12		oveq2 6036	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( k + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 12006	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
14	11, 13	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
16		bcxmaslem1 12129	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) )
17		oveq2 6036	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... M ) )
18	17	sumeq1d 12006	. . . . 5 |- ( m = M -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )
19	16, 18	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
21		0nn0 9476	. . . . 5 |- 0 e. NN0
22		nn0addcl 9496	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( N + 0 ) e. NN0 )
23		bcn0 11080	. . . . . 6 |- ( ( N + 0 ) e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
25	21, 24	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
26		0z 9551	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27		1nn0 9477	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
28	25, 27	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. NN0 )
29	28	nn0cnd 9518	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC )
30		bcxmaslem1 12129	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
31	30	fsum1 12053	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
32	26, 29, 31	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
33		peano2nn0 9501	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
34		nn0addcl 9496	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
35	33, 21, 34	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
36		bcn0 11080	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
38	25, 32, 37	3eqtr4rd 2275	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
40		elnn0uz 9855	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
41	39, 40	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. NN0 )
43		elfznn0 10411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
44		nn0addcl 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( N + j ) e. NN0 )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( N + j ) e. NN0 )
46		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. ZZ )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
48		bccl 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + j ) e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. CC )
51		bcxmaslem1 12129	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
52	41, 50, 51	fsump1 12061	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) )
53		nn0cn 9471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
55		nn0cn 9471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
57		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
58		add32r 8398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
60	59	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) )
61	60	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
62	52, 61	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
64		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
66		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67		pncan 8444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
68	56, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
69	68	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
70	69	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) )
71		nn0addcl 9496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
72	33, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
73		nn0p1nn 9500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
75	74	nnzd 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
76		bcpasc 11091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
78	70, 77	eqtr3d 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
79		nn0p1nn 9500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
80		nnnn0addcl 9491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
81	79, 80	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
82	81	nnnn0d 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
83		bccl 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. CC )
86		nn0z 9560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
88		bccl 11092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
89	71, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
90	33, 89	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
91	90	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. CC )
92	85, 91	addcomd 8389	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
93		peano2cn 8373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
94	53, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
95	94	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
96	95, 56, 57	addassd 8261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) )
97	96	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
98	78, 92, 97	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
100	63, 65, 99	3eqtr2rd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
101	100	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
104	5, 10, 15, 20, 38, 103	nn0ind 9655	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
105	104	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   - cmin 8409   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   _C cbc 11072   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  arisum  12139