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Theorem bcxmas 11198
Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcxmas  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Distinct variable groups:    j, M    j, N

Proof of Theorem bcxmas
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcxmaslem1 11197 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 ) )
2 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
32sumeq1d 11075 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
41, 3eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
6 bcxmaslem1 11197 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... k
) )
87sumeq1d 11075 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
96, 8eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
109imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
11 bcxmaslem1 11197 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) )
1312sumeq1d 11075 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1411, 13eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
16 bcxmaslem1 11197 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M ) )
17 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... M
) )
1817sumeq1d 11075 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1916, 18eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
2019imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
21 0nn0 8943 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 8963 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  e.  NN0 )
23 bcn0 10441 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
0 )  _C  0
)  =  1 )
2521, 24mpan2 419 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
26 0z 9016 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
27 1nn0 8944 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2825, 27syl6eqel 2206 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e. 
NN0 )
2928nn0cnd 8983 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e.  CC )
30 bcxmaslem1 11197 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3130fsum1 11121 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
0 )  _C  0
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3226, 29, 31sylancr 408 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
33 peano2nn0 8968 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
34 nn0addcl 8963 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  0 )  e.  NN0 )
3533, 21, 34sylancl 407 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  0 )  e. 
NN0 )
36 bcn0 10441 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3735, 36syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3825, 32, 373eqtr4rd 2159 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
40 elnn0uz 9312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4139, 40sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
43 elfznn0 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
44 nn0addcl 8963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( N  +  j )  e.  NN0 )
4542, 43, 44syl2an 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  j )  e.  NN0 )
46 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
4746adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
48 bccl 10453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  j )  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j
)  e.  NN0 )
4945, 47, 48syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  NN0 )
5049nn0cnd 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  CC )
51 bcxmaslem1 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
5241, 50, 51fsump1 11129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
53 nn0cn 8938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
5453adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
55 nn0cn 8938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
5655adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
57 1cnd 7746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
58 add32r 7886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
6059oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )
6160oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6252, 61eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6362adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6564adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
66 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
67 pncan 7932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6856, 66, 67sylancl 407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6968oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7069oveq2d 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) ) )
71 nn0addcl 8963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
7233, 71sylan 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
73 nn0p1nn 8967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
7473adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
7574nnzd 9123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
76 bcpasc 10452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7870, 77eqtr3d 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
79 nn0p1nn 8967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
80 nnnn0addcl 8958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8179, 80sylan 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8281nnnn0d 8981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
83 bccl 10453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8482, 75, 83syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
86 nn0z 9025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8786adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ZZ )
88 bccl 10453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
8971, 87, 88syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9033, 89sylan 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9190nn0cnd 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  CC )
9285, 91addcomd 7877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
93 peano2cn 7861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9453, 93syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9594adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
9695, 56, 57addassd 7752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
9796oveq1d 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9878, 92, 973eqtr3d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9998adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
10063, 65, 993eqtr2rd 2155 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
101100ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) ) )
102101expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
1045, 10, 15, 20, 38, 103nn0ind 9116 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
105104impcom 124 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730    _C cbc 10433   sum_csu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-bc 10434  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
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