Theorem bcxmas 11390

Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcxmas	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N

Proof of Theorem bcxmas

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcxmaslem1 11389	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) )
2		oveq2 5833	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 11267	. . . . 5 |- ( m = 0 -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
4	1, 3	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
6		bcxmaslem1 11389	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
7		oveq2 5833	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... k ) )
8	7	sumeq1d 11267	. . . . 5 |- ( m = k -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) )
9	6, 8	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
10	9	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
11		bcxmaslem1 11389	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
12		oveq2 5833	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( k + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 11267	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
14	11, 13	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
16		bcxmaslem1 11389	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) )
17		oveq2 5833	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... M ) )
18	17	sumeq1d 11267	. . . . 5 |- ( m = M -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )
19	16, 18	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
20	19	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
21		0nn0 9106	. . . . 5 |- 0 e. NN0
22		nn0addcl 9126	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( N + 0 ) e. NN0 )
23		bcn0 10633	. . . . . 6 |- ( ( N + 0 ) e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
25	21, 24	mpan2 422	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
26		0z 9179	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27		1nn0 9107	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
28	25, 27	eqeltrdi 2248	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. NN0 )
29	28	nn0cnd 9146	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC )
30		bcxmaslem1 11389	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
31	30	fsum1 11313	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
32	26, 29, 31	sylancr 411	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
33		peano2nn0 9131	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
34		nn0addcl 9126	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
35	33, 21, 34	sylancl 410	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
36		bcn0 10633	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
38	25, 32, 37	3eqtr4rd 2201	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
39		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
40		elnn0uz 9477	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
41	39, 40	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. NN0 )
43		elfznn0 10017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
44		nn0addcl 9126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( N + j ) e. NN0 )
45	42, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( N + j ) e. NN0 )
46		elfzelz 9929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. ZZ )
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
48		bccl 10645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + j ) e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 9146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. CC )
51		bcxmaslem1 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
52	41, 50, 51	fsump1 11321	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) )
53		nn0cn 9101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
55		nn0cn 9101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
56	55	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
57		1cnd 7895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
58		add32r 8036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
60	59	oveq1d 5840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) )
61	60	oveq2d 5841	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
62	52, 61	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
63	62	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
64		oveq1 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
66		ax-1cn 7826	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67		pncan 8082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
68	56, 66, 67	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
69	68	oveq2d 5841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
70	69	oveq2d 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) )
71		nn0addcl 9126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
72	33, 71	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
73		nn0p1nn 9130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
74	73	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
75	74	nnzd 9286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
76		bcpasc 10644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
78	70, 77	eqtr3d 2192	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
79		nn0p1nn 9130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
80		nnnn0addcl 9121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
81	79, 80	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
82	81	nnnn0d 9144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
83		bccl 10645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
84	82, 75, 83	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0cnd 9146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. CC )
86		nn0z 9188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
87	86	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
88		bccl 10645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
89	71, 87, 88	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
90	33, 89	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
91	90	nn0cnd 9146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. CC )
92	85, 91	addcomd 8027	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
93		peano2cn 8011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
94	53, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
95	94	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
96	95, 56, 57	addassd 7901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) )
97	96	oveq1d 5840	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
98	78, 92, 97	3eqtr3d 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
99	98	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
100	63, 65, 99	3eqtr2rd 2197	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
101	100	ex 114	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
102	101	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
104	5, 10, 15, 20, 38, 103	nn0ind 9279	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
105	104	impcom 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   CCcc 7731   0cc0 7733   1c1 7734   + caddc 7736   - cmin 8047   NNcn 8834   NN0cn0 9091   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913   _C cbc 10625   sum_csu 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-fac 10604  df-bc 10626  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-sumdc 11255

This theorem is referenced by:  arisum  11399