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Theorem bcxmas 10937
Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcxmas  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Distinct variable groups:    j, M    j, N

Proof of Theorem bcxmas
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcxmaslem1 10936 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 ) )
2 oveq2 5674 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
32sumeq1d 10809 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
41, 3eqeq12d 2103 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
6 bcxmaslem1 10936 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7 oveq2 5674 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... k
) )
87sumeq1d 10809 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
96, 8eqeq12d 2103 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
109imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
11 bcxmaslem1 10936 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 5674 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) )
1312sumeq1d 10809 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1411, 13eqeq12d 2103 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
16 bcxmaslem1 10936 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  m
)  _C  m )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M ) )
17 oveq2 5674 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... M
) )
1817sumeq1d 10809 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
1916, 18eqeq12d 2103 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
2019imbi2d 229 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  m )  _C  m
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( (
( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
21 0nn0 8742 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 8762 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  e.  NN0 )
23 bcn0 10217 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
0 )  _C  0
)  =  1 )
2521, 24mpan2 417 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
26 0z 8815 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
27 1nn0 8743 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2825, 27syl6eqel 2179 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e. 
NN0 )
2928nn0cnd 8782 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  0 )  _C  0 )  e.  CC )
30 bcxmaslem1 10936 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3130fsum1 10860 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
0 )  _C  0
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
3226, 29, 31sylancr 406 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... 0
) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  0 )  _C  0 ) )
33 peano2nn0 8767 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
34 nn0addcl 8762 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  0 )  e.  NN0 )
3533, 21, 34sylancl 405 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  0 )  e. 
NN0 )
36 bcn0 10217 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3735, 36syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
3825, 32, 373eqtr4rd 2132 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  0 )  _C  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
40 elnn0uz 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4139, 40sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
43 elfznn0 9582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
44 nn0addcl 8762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( N  +  j )  e.  NN0 )
4542, 43, 44syl2an 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  j )  e.  NN0 )
46 elfzelz 9494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
4746adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
48 bccl 10229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  j )  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j
)  e.  NN0 )
4945, 47, 48syl2anc 404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  NN0 )
5049nn0cnd 8782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  j )  _C  j )  e.  CC )
51 bcxmaslem1 10936 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  j )  _C  j )  =  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
5241, 50, 51fsump1 10868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
53 nn0cn 8737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
5453adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
55 nn0cn 8737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
5655adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
57 1cnd 7558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
58 add32r 7696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  k ) )
6059oveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )
6160oveq2d 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( N  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6252, 61eqtrd 2121 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6362adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 5673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
6564adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
66 ax-1cn 7492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
67 pncan 7742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6856, 66, 67sylancl 405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6968oveq2d 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) )
7069oveq2d 5682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k ) ) )
71 nn0addcl 8762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
7233, 71sylan 278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
73 nn0p1nn 8766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
7473adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
7574nnzd 8921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
76 bcpasc 10228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
7870, 77eqtr3d 2123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  +  1 )  _C  ( k  +  1 ) ) )
79 nn0p1nn 8766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
80 nnnn0addcl 8757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8179, 80sylan 278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN )
8281nnnn0d 8780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0 )
83 bccl 10229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8482, 75, 83syl2anc 404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0cnd 8782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
86 nn0z 8824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8786adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  ZZ )
88 bccl 10229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
8971, 87, 88syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9033, 89sylan 278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  NN0 )
9190nn0cnd 8782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  e.  CC )
9285, 91addcomd 7687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k ) )  =  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
93 peano2cn 7671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9453, 93syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9594adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
9695, 56, 57addassd 7564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
9796oveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  +  1 )  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9878, 92, 973eqtr3d 2129 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
9998adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  +  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) ) )
10063, 65, 993eqtr2rd 2128 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  (
k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... (
k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
101100ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  +  1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j ) ) )
102101expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
)  ->  ( (
( N  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  + 
1 )  +  k )  _C  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( N  +  j )  _C  j
) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  ( k  +  1 ) )  _C  ( k  +  1 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( k  +  1 ) ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) ) )
1045, 10, 15, 20, 38, 103nn0ind 8914 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( N  +  j )  _C  j
) ) )
105104impcom 124 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  M )  _C  M
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( N  +  j )  _C  j ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404   1c1 7405    + caddc 7407    - cmin 7707   NNcn 8476   NN0cn0 8727   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073   ...cfz 9478    _C cbc 10209   sum_csu 10796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-bc 10210  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797
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