Theorem bcxmas 11632

Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcxmas	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N

Proof of Theorem bcxmas

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcxmaslem1 11631	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) )
2		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 11509	. . . . 5 |- ( m = 0 -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
4	1, 3	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
6		bcxmaslem1 11631	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
7		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... k ) )
8	7	sumeq1d 11509	. . . . 5 |- ( m = k -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) )
9	6, 8	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
11		bcxmaslem1 11631	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
12		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( k + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 11509	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
14	11, 13	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
16		bcxmaslem1 11631	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) )
17		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... M ) )
18	17	sumeq1d 11509	. . . . 5 |- ( m = M -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )
19	16, 18	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) <-> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + m ) _C m ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( N + j ) _C j ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
21		0nn0 9255	. . . . 5 |- 0 e. NN0
22		nn0addcl 9275	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( N + 0 ) e. NN0 )
23		bcn0 10826	. . . . . 6 |- ( ( N + 0 ) e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
25	21, 24	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) = 1 )
26		0z 9328	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27		1nn0 9256	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
28	25, 27	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. NN0 )
29	28	nn0cnd 9295	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC )
30		bcxmaslem1 11631	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
31	30	fsum1 11555	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N + 0 ) _C 0 ) e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
32	26, 29, 31	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + 0 ) _C 0 ) )
33		peano2nn0 9280	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
34		nn0addcl 9275	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
35	33, 21, 34	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 )
36		bcn0 10826	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) + 0 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = 1 )
38	25, 32, 37	3eqtr4rd 2237	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 0 ) _C 0 ) = sum_ j e. ( 0 ... 0 ) ( ( N + j ) _C j ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
40		elnn0uz 9630	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
41	39, 40	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. NN0 )
43		elfznn0 10180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
44		nn0addcl 9275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( N + j ) e. NN0 )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( N + j ) e. NN0 )
46		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) -> j e. ZZ )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
48		bccl 10838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + j ) e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( N + j ) _C j ) e. CC )
51		bcxmaslem1 11631	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N + j ) _C j ) = ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
52	41, 50, 51	fsump1 11563	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) )
53		nn0cn 9250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
55		nn0cn 9250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
57		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
58		add32r 8179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) + k ) )
60	59	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) )
61	60	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( N + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
62	52, 61	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
64		oveq1 5925	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
66		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67		pncan 8225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
68	56, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
69	68	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) )
70	69	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) )
71		nn0addcl 9275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
72	33, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
73		nn0p1nn 9279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
75	74	nnzd 9438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
76		bcpasc 10837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
78	70, 77	eqtr3d 2228	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) )
79		nn0p1nn 9279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
80		nnnn0addcl 9270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
81	79, 80	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN )
82	81	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 )
83		bccl 10838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) e. CC )
86		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
88		bccl 10838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N + 1 ) + k ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
89	71, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
90	33, 89	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. NN0 )
91	90	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) e. CC )
92	85, 91	addcomd 8170	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) )
93		peano2cn 8154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
94	53, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
95	94	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
96	95, 56, 57	addassd 8042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) )
97	96	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) + 1 ) _C ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
98	78, 92, 97	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) + ( ( ( N + 1 ) + k ) _C ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) )
100	63, 65, 99	3eqtr2rd 2233	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) )
101	100	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + k ) _C k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( N + j ) _C j ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + ( k + 1 ) ) _C ( k + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( k + 1 ) ) ( ( N + j ) _C j ) ) ) )
104	5, 10, 15, 20, 38, 103	nn0ind 9431	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) ) )
105	104	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + M ) _C M ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( N + j ) _C j ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   _C cbc 10818   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  arisum  11641