Theorem elnn0 9112

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9111	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2232	. 2 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( NN u. { 0 } ) )
3		elun 3262	. 2 |- ( A e. ( NN u. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) )
4		c0ex 7889	. . . 4 |- 0 e. _V
5	4	elsn2 3609	. . 3 |- ( A e. { 0 } <-> A = 0 )
6	5	orbi2i 752	. 2 |- ( ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
7	2, 3, 6	3bitri 205	1 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3113   {csn 3575   0cc0 7749   NNcn 8853   NN0cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-1cn 7842  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-mulcl 7847  ax-i2m1 7854

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-v 2727  df-un 3119  df-sn 3581  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  0nn0  9125  nn0ge0  9135  nnnn0addcl  9140  nnm1nn0  9151  elnnnn0b  9154  elnn0z  9200  elznn0nn  9201  elznn0  9202  elznn  9203  nn0ind-raph  9304  nn0ledivnn  9699  expp1  10458  expnegap0  10459  expcllem  10462  nn0ltexp2  10619  facp1  10639  faclbnd  10650  faclbnd3  10652  bcn1  10667  bcval5  10672  hashnncl  10705  fz1f1o  11312  arisum  11435  arisum2  11436  fprodfac  11552  ef0lem  11597  nn0enne  11835  nn0o1gt2  11838  dfgcd2  11943  mulgcd  11945  eucalgf  11983  eucalginv  11984  prmdvdsexpr  12078  rpexp1i  12082  nn0gcdsq  12128  odzdvds  12173  pceq0  12249  fldivp1  12274  pockthg  12283  1arith  12293  dvexp2  13276  lgsdir  13536  lgsabs1  13540  2sqlem7  13557