Theorem elnn0 9569

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9568	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( NN u. { 0 } ) )
3		elun 3370	. 2 |- ( A e. ( NN u. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) )
4		c0ex 8320	. . . 4 |- 0 e. _V
5	4	elsn2 3743	. . 3 |- ( A e. { 0 } <-> A = 0 )
6	5	orbi2i 774	. 2 |- ( ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3709   0cc0 8179   NNcn 9306   NN0cn0 9567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-n0 9568

This theorem is used by:  0nn0  9582  nn0ge0  9592  nnnn0addcl  9597  nnm1nn0  9608  elnnnn0b  9611  elnn0z  9661  elznn0nn  9662  elznn0  9663  elznn  9664  nn0ind-raph  9767  nn0ledivnn  10178  expp1  10996  expnegap0  10997  expcllem  11000  nn0ltexp2  11161  facp1  11182  faclbnd  11193  faclbnd3  11195  bcn1  11210  bcval5  11215  hashnncl  11248  fz1f1o  12157  arisum  12281  arisum2  12282  fprodfac  12398  ef0lem  12443  nn0enne  12685  nn0o1gt2  12688  dfgcd2  12807  mulgcd  12809  eucalgf  12849  eucalginv  12850  prmdvdsexpr  12945  rpexp1i  12949  nn0gcdsq  12996  odzdvds  13044  pceq0  13121  fldivp1  13147  pockthg  13156  1arith  13166  4sqlem17  13206  4sqlem19  13208  mulgnn0gzsum  13980  mulgnn0p1  13985  mulgnn0subcl  13987  mulgneg  13992  mulgnn0z  14001  mulgnn0dir  14004  mulgnn0ass  14010  submmulg  14018  gsumvalfi  14201  znf1o  15035  dvexp2  15862  dvply1  15915  logfac  16048  birthdaylem2  16145  ppiqltx  16183  lgsdir  16252  lgsabs1  16256  lgseisenlem1  16287  2sqlem7  16338  clwwlknnn  16751