Theorem elnn0 9332

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9331	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2274	. 2 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( NN u. { 0 } ) )
3		elun 3322	. 2 |- ( A e. ( NN u. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) )
4		c0ex 8101	. . . 4 |- 0 e. _V
5	4	elsn2 3677	. . 3 |- ( A e. { 0 } <-> A = 0 )
6	5	orbi2i 764	. 2 |- ( ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   u. cun 3172   {csn 3643   0cc0 7960   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-mulcl 8058  ax-i2m1 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  0nn0  9345  nn0ge0  9355  nnnn0addcl  9360  nnm1nn0  9371  elnnnn0b  9374  elnn0z  9420  elznn0nn  9421  elznn0  9422  elznn  9423  nn0ind-raph  9525  nn0ledivnn  9924  expp1  10728  expnegap0  10729  expcllem  10732  nn0ltexp2  10891  facp1  10912  faclbnd  10923  faclbnd3  10925  bcn1  10940  bcval5  10945  hashnncl  10977  fz1f1o  11801  arisum  11924  arisum2  11925  fprodfac  12041  ef0lem  12086  nn0enne  12328  nn0o1gt2  12331  dfgcd2  12450  mulgcd  12452  eucalgf  12492  eucalginv  12493  prmdvdsexpr  12587  rpexp1i  12591  nn0gcdsq  12637  odzdvds  12683  pceq0  12760  fldivp1  12786  pockthg  12795  1arith  12805  4sqlem17  12845  4sqlem19  12847  mulgnn0gsum  13579  mulgnn0p1  13584  mulgnn0subcl  13586  mulgneg  13591  mulgnn0z  13600  mulgnn0dir  13603  mulgnn0ass  13609  submmulg  13617  znf1o  14528  dvexp2  15299  dvply1  15352  lgsdir  15627  lgsabs1  15631  lgseisenlem1  15662  2sqlem7  15713