Theorem elnn0 9177

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9176	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2244	. 2 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( NN u. { 0 } ) )
3		elun 3276	. 2 |- ( A e. ( NN u. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) )
4		c0ex 7950	. . . 4 |- 0 e. _V
5	4	elsn2 3626	. . 3 |- ( A e. { 0 } <-> A = 0 )
6	5	orbi2i 762	. 2 |- ( ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3127   {csn 3592   0cc0 7810   NNcn 8918   NN0cn0 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-mulcl 7908  ax-i2m1 7915

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-n0 9176

This theorem is referenced by:  0nn0  9190  nn0ge0  9200  nnnn0addcl  9205  nnm1nn0  9216  elnnnn0b  9219  elnn0z  9265  elznn0nn  9266  elznn0  9267  elznn  9268  nn0ind-raph  9369  nn0ledivnn  9766  expp1  10526  expnegap0  10527  expcllem  10530  nn0ltexp2  10688  facp1  10709  faclbnd  10720  faclbnd3  10722  bcn1  10737  bcval5  10742  hashnncl  10774  fz1f1o  11382  arisum  11505  arisum2  11506  fprodfac  11622  ef0lem  11667  nn0enne  11906  nn0o1gt2  11909  dfgcd2  12014  mulgcd  12016  eucalgf  12054  eucalginv  12055  prmdvdsexpr  12149  rpexp1i  12153  nn0gcdsq  12199  odzdvds  12244  pceq0  12320  fldivp1  12345  pockthg  12354  1arith  12364  mulgnn0p1  12993  mulgnn0subcl  12995  mulgneg  13000  mulgnn0z  13008  mulgnn0dir  13011  mulgnn0ass  13017  dvexp2  14146  lgsdir  14406  lgsabs1  14410  lgseisenlem1  14420  2sqlem7  14438