Theorem nnnn0addcl 9273

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9245	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnaddcl 9004	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3		oveq2 5927	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
4		nncn 8992	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5	4	addridd 8170	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
6	3, 5	sylan9eqr 2248	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	6, 7	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
9	2, 8	jaodan 798	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  0cc0 7874   + caddc 7877  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9274  elz2  9391  bcxmas  11635