Theorem nnnn0addcl 9209

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9181	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnaddcl 8942	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3		oveq2 5886	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
4		nncn 8930	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 8109	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
6	3, 5	sylan9eqr 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	6, 7	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
9	2, 8	jaodan 797	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5878  0cc0 7814   + caddc 7817  ℕcn 8922  ℕ₀cn0 9179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-n0 9180

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9210  elz2  9327  bcxmas  11500