Theorem nnnn0addcl 8636

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8608	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnaddcl 8377	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3		oveq2 5621	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
4		nncn 8365	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 7575	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
6	3, 5	sylan9eqr 2139	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
7		simpl 107	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	6, 7	eqeltrd 2161	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
9	2, 8	jaodan 744	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	sylan2b 281	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 662   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  (class class class)co 5613  0cc0 7294   + caddc 7297  ℕcn 8357  ℕ₀cn0 8606

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addass 7391  ax-i2m1 7394  ax-0id 7397

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-iota 4946  df-fv 4989  df-ov 5616  df-inn 8358  df-n0 8607

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  8637  elz2  8751