Theorem elz2 9695

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	|- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Distinct variable group:   x, y, N

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9638	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
2		nn0p1nn 9581	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN )
4		1nn 9294	. . . . . 6 |- 1 e. NN
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
6		recn 8302	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
8		ax-1cn 8262	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		pncan 8522	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	7, 8, 9	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
11	10	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
12		rspceov 6118	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ 1 e. NN /\ N = ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
14	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
15	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N e. CC )
16		negsub 8564	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
17	8, 15, 16	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> -u N e. NN0 )
19		nnnn0addcl 9572	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
20	4, 18, 19	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
21	17, 20	eqeltrrd 2316	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - N ) e. NN )
22		nncan 8545	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
23	8, 15, 22	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
24	23	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N = ( 1 - ( 1 - N ) ) )
25		rspceov 6118	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 1 - N ) e. NN /\ N = ( 1 - ( 1 - N ) ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
27	13, 26	jaodan 809	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
28		nnre 9290	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
29		nnre 9290	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
30		resubcl 8580	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x - y ) e. RR )
31	28, 29, 30	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x - y ) e. RR )
32		nnz 9642	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
33		nnz 9642	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
34		zletric 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
36		nnnn0 9549	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
37		nnnn0 9549	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
38		nn0sub 9690	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
39	36, 37, 38	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
40		nn0sub 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
41	37, 36, 40	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
42		nncn 9291	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. CC )
43		nncn 9291	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
44		negsubdi2 8575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
46	45	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( -u ( x - y ) e. NN0 <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
47	41, 46	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
48	39, 47	orbi12d 805	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y <_ x \/ x <_ y ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
49	35, 48	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) )
50	31, 49	jca 306	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
51		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
52		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. NN0 <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
53		negeq 8509	. . . . . . . 8 |- ( N = ( x - y ) -> -u N = -u ( x - y ) )
54	53	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( -u N e. NN0 <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
55	52, 54	orbi12d 805	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
56	51, 55	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) ) )
57	50, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) )
58	57	rexlimivv 2674	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
59	27, 58	impbii 126	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
60	1, 59	bitri 184	1 |- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   -ucneg 8488   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  dfz2  9696