Theorem elz2 9146

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	|- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Distinct variable group:   x, y, N

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9093	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
2		nn0p1nn 9040	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	2	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN )
4		1nn 8755	. . . . . 6 |- 1 e. NN
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
6		recn 7777	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
8		ax-1cn 7737	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		pncan 7992	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	7, 8, 9	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
11	10	eqcomd 2146	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
12		rspceov 5821	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ 1 e. NN /\ N = ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
14	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
15	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N e. CC )
16		negsub 8034	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
17	8, 15, 16	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
18		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> -u N e. NN0 )
19		nnnn0addcl 9031	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
20	4, 18, 19	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
21	17, 20	eqeltrrd 2218	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - N ) e. NN )
22		nncan 8015	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
23	8, 15, 22	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
24	23	eqcomd 2146	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N = ( 1 - ( 1 - N ) ) )
25		rspceov 5821	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 1 - N ) e. NN /\ N = ( 1 - ( 1 - N ) ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
27	13, 26	jaodan 787	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
28		nnre 8751	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
29		nnre 8751	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
30		resubcl 8050	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x - y ) e. RR )
31	28, 29, 30	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x - y ) e. RR )
32		nnz 9097	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
33		nnz 9097	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
34		zletric 9122	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
35	32, 33, 34	syl2anr 288	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
36		nnnn0 9008	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
37		nnnn0 9008	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
38		nn0sub 9144	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
39	36, 37, 38	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
40		nn0sub 9144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
41	37, 36, 40	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
42		nncn 8752	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. CC )
43		nncn 8752	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
44		negsubdi2 8045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
45	42, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
46	45	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( -u ( x - y ) e. NN0 <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
47	41, 46	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
48	39, 47	orbi12d 783	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y <_ x \/ x <_ y ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
49	35, 48	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) )
50	31, 49	jca 304	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
51		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
52		eleq1 2203	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. NN0 <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
53		negeq 7979	. . . . . . . 8 |- ( N = ( x - y ) -> -u N = -u ( x - y ) )
54	53	eleq1d 2209	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( -u N e. NN0 <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
55	52, 54	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
56	51, 55	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) ) )
57	50, 56	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) )
58	57	rexlimivv 2558	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
59	27, 58	impbii 125	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
60	1, 59	bitri 183	1 |- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957   -ucneg 7958   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  dfz2  9147