Theorem elz2 9550

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	|- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Distinct variable group:   x, y, N

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9493	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
2		nn0p1nn 9440	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN )
4		1nn 9153	. . . . . 6 |- 1 e. NN
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
6		recn 8164	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
8		ax-1cn 8124	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		pncan 8384	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
11	10	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
12		rspceov 6060	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ 1 e. NN /\ N = ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
14	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
15	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N e. CC )
16		negsub 8426	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> -u N e. NN0 )
19		nnnn0addcl 9431	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
20	4, 18, 19	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
21	17, 20	eqeltrrd 2309	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - N ) e. NN )
22		nncan 8407	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
23	8, 15, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
24	23	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N = ( 1 - ( 1 - N ) ) )
25		rspceov 6060	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 1 - N ) e. NN /\ N = ( 1 - ( 1 - N ) ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
27	13, 26	jaodan 804	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
28		nnre 9149	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
29		nnre 9149	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
30		resubcl 8442	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x - y ) e. RR )
31	28, 29, 30	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x - y ) e. RR )
32		nnz 9497	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
33		nnz 9497	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
34		zletric 9522	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
36		nnnn0 9408	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
37		nnnn0 9408	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
38		nn0sub 9545	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
39	36, 37, 38	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
40		nn0sub 9545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
41	37, 36, 40	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
42		nncn 9150	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. CC )
43		nncn 9150	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
44		negsubdi2 8437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
46	45	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( -u ( x - y ) e. NN0 <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
47	41, 46	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
48	39, 47	orbi12d 800	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y <_ x \/ x <_ y ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
49	35, 48	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) )
50	31, 49	jca 306	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
51		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
52		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. NN0 <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
53		negeq 8371	. . . . . . . 8 |- ( N = ( x - y ) -> -u N = -u ( x - y ) )
54	53	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( -u N e. NN0 <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
55	52, 54	orbi12d 800	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
56	51, 55	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) ) )
57	50, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) )
58	57	rexlimivv 2656	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
59	27, 58	impbii 126	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
60	1, 59	bitri 184	1 |- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   1c1 8032   + caddc 8034   <_ cle 8214   - cmin 8349   -ucneg 8350   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  dfz2  9551