Theorem elz2 9649

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	|- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Distinct variable group:   x, y, N

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9592	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
2		nn0p1nn 9535	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN )
4		1nn 9248	. . . . . 6 |- 1 e. NN
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
6		recn 8260	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
8		ax-1cn 8220	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		pncan 8479	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
11	10	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
12		rspceov 6093	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ 1 e. NN /\ N = ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
14	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
15	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N e. CC )
16		negsub 8521	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> -u N e. NN0 )
19		nnnn0addcl 9526	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
20	4, 18, 19	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
21	17, 20	eqeltrrd 2310	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - N ) e. NN )
22		nncan 8502	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
23	8, 15, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
24	23	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N = ( 1 - ( 1 - N ) ) )
25		rspceov 6093	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 1 - N ) e. NN /\ N = ( 1 - ( 1 - N ) ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
27	13, 26	jaodan 805	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
28		nnre 9244	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
29		nnre 9244	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
30		resubcl 8537	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x - y ) e. RR )
31	28, 29, 30	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x - y ) e. RR )
32		nnz 9596	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
33		nnz 9596	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
34		zletric 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
36		nnnn0 9503	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
37		nnnn0 9503	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
38		nn0sub 9644	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
39	36, 37, 38	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
40		nn0sub 9644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
41	37, 36, 40	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
42		nncn 9245	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. CC )
43		nncn 9245	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
44		negsubdi2 8532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
46	45	eleq1d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( -u ( x - y ) e. NN0 <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
47	41, 46	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
48	39, 47	orbi12d 801	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y <_ x \/ x <_ y ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
49	35, 48	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) )
50	31, 49	jca 306	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
51		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
52		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. NN0 <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
53		negeq 8466	. . . . . . . 8 |- ( N = ( x - y ) -> -u N = -u ( x - y ) )
54	53	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( -u N e. NN0 <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
55	52, 54	orbi12d 801	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
56	51, 55	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) ) )
57	50, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) )
58	57	rexlimivv 2666	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
59	27, 58	impbii 126	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
60	1, 59	bitri 184	1 |- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   <_ cle 8309   - cmin 8444   -ucneg 8445   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  dfz2  9650