ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabex GIF version

Theorem oprabex 5899
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1 𝐴 ∈ V
oprabex.2 𝐵 ∈ V
oprabex.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
oprabex.4 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
oprabex 𝐹 ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
2 oprabex.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
3 moanimv 2023 . . . . 5 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑))
42, 3mpbir 144 . . . 4 ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)
54funoprab 5745 . . 3 Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
6 oprabex.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
7 oprabex.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
86, 7xpex 4553 . . . 4 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
9 dmoprabss 5730 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
108, 9ssexi 3977 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
11 funex 5520 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V)
125, 10, 11mp2an 417 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
131, 12eqeltri 2160 1 𝐹 ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  ∃*wmo 1949  Vcvv 2619   × cxp 4436  dom cdm 4438  Fun wfun 5009  {coprab 5653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-oprab 5656
This theorem is referenced by:  oprabex3  5900
  Copyright terms: Public domain W3C validator