Theorem oprabex3 6130

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex3.1	|- H e. _V
oprabex3.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex3	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, f, H   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   R( w, v, u, f)   F( x, y, z, w, v, u, f)

Proof of Theorem oprabex3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex3.1	. . 3 |- H e. _V
2	1, 1	xpex 4742	. 2 |- ( H X. H ) e. _V
3		moeq 2913	. . . . . 6 |- E* z z = R
4	3	mosubop 4693	. . . . 5 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R )
5	4	mosubop 4693	. . . 4 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) )
6		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
7	6	2exbii 1606	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
8		19.42vv 1911	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
10	9	2exbii 1606	. . . . 5 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
11	10	mobii 2063	. . . 4 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
12	5, 11	mpbir 146	. . 3 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) )
14		oprabex3.2	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }
15	2, 2, 13, 14	oprabex 6129	1 |- F e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   <.cop 3596   X. cxp 4625   {coprab 5876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-oprab 5879

This theorem is referenced by:  addvalex  7843