Theorem oprabex3 6035

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex3.1	|- H e. _V
oprabex3.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex3	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, f, H   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   R( w, v, u, f)   F( x, y, z, w, v, u, f)

Proof of Theorem oprabex3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex3.1	. . 3 |- H e. _V
2	1, 1	xpex 4662	. 2 |- ( H X. H ) e. _V
3		moeq 2863	. . . . . 6 |- E* z z = R
4	3	mosubop 4613	. . . . 5 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R )
5	4	mosubop 4613	. . . 4 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) )
6		anass 399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
7	6	2exbii 1586	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
8		19.42vv 1884	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
10	9	2exbii 1586	. . . . 5 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
11	10	mobii 2037	. . . 4 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
12	5, 11	mpbir 145	. . 3 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) )
14		oprabex3.2	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }
15	2, 2, 13, 14	oprabex 6034	1 |- F e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E*wmo 2001   _Vcvv 2689   <.cop 3535   X. cxp 4545   {coprab 5783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-oprab 5786

This theorem is referenced by:  addvalex  7676