Theorem oprabex3 6106

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex3.1	|- H e. _V
oprabex3.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex3	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, f, H   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   R( w, v, u, f)   F( x, y, z, w, v, u, f)

Proof of Theorem oprabex3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex3.1	. . 3 |- H e. _V
2	1, 1	xpex 4724	. 2 |- ( H X. H ) e. _V
3		moeq 2905	. . . . . 6 |- E* z z = R
4	3	mosubop 4675	. . . . 5 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R )
5	4	mosubop 4675	. . . 4 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) )
6		anass 399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
7	6	2exbii 1599	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
8		19.42vv 1904	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
10	9	2exbii 1599	. . . . 5 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
11	10	mobii 2056	. . . 4 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
12	5, 11	mpbir 145	. . 3 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) )
14		oprabex3.2	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }
15	2, 2, 13, 14	oprabex 6105	1 |- F e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   E*wmo 2020   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3584   X. cxp 4607   {coprab 5852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-oprab 5855

This theorem is referenced by:  addvalex  7795