Theorem oprabexd 6360

Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
oprabexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
oprabexd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
oprabexd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)})

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)})
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
3	2	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
4		moanimv 2162	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓))
6	5	alrimivv 1928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦∃*𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓))
7		funoprabg 6187	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∃*𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)})
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)})
9		dmoprabss 6170	. . . 4 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
10		oprabexd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		oprabexd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
12		xpexg 4889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
13	10, 11, 12	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14		ssexg 4272	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
16		funex 5940	. . 3 ⊢ ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
17	8, 15, 16	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
18	1, 17	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1400   = wceq 1402  ∃*wmo 2087   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   × cxp 4772  dom cdm 4774  Fun wfun 5371  {coprab 6086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-oprab 6089

This theorem is used by: (None)