ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elq Unicode version

Theorem elq 9426
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elq
StepHypRef Expression
1 df-q 9424 . . . 4  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
21eleq2i 2206 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) ) )
3 resima 4852 . . . 4  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) "
( ZZ  X.  NN ) )  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
43eleq2i 2206 . . 3  |-  ( A  e.  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <-> 
A  e.  (  /  " ( ZZ  X.  NN ) ) )
5 divfnzn 9425 . . . 4  |-  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
6 ssid 3117 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( ZZ  X.  NN )
7 ovelimab 5921 . . . 4  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  C_  ( ZZ  X.  NN ) )  ->  ( A  e.  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y ) ) )
85, 6, 7mp2an 422 . . 3  |-  ( A  e.  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y ) )
92, 4, 83bitr2i 207 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y ) )
10 ovres 5910 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y )  =  ( x  / 
y ) )
1110eqeq2d 2151 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y )  <->  A  =  ( x  /  y
) ) )
12112rexbiia 2451 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
139, 12bitri 183 1  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417    C_ wss 3071    X. cxp 4537    |` cres 4541   "cima 4542    Fn wfn 5118  (class class class)co 5774    / cdiv 8444   NNcn 8732   ZZcz 9066   QQcq 9423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-z 9067  df-q 9424
This theorem is referenced by:  qmulz  9427  znq  9428  qre  9429  zq  9430  qaddcl  9439  qnegcl  9440  qmulcl  9441  qapne  9443  qreccl  9446  qtri3or  10032  eirrap  11495  qredeu  11789  sqrt2irr  11851  sqrt2irrap  11869
  Copyright terms: Public domain W3C validator