Theorem elq 9745

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	|- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 9743	. . . 4 |- QQ = ( / " ( ZZ X. NN ) )
2	1	eleq2i 2272	. . 3 |- ( A e. QQ <-> A e. ( / " ( ZZ X. NN ) ) )
3		resima 4993	. . . 4 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = ( / " ( ZZ X. NN ) )
4	3	eleq2i 2272	. . 3 |- ( A e. ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> A e. ( / " ( ZZ X. NN ) ) )
5		divfnzn 9744	. . . 4 |- ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN )
6		ssid 3213	. . . 4 |- ( ZZ X. NN ) C_ ( ZZ X. NN )
7		ovelimab 6099	. . . 4 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) /\ ( ZZ X. NN ) C_ ( ZZ X. NN ) ) -> ( A e. ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x ( / |` ( ZZ X. NN ) ) y ) ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . 3 |- ( A e. ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x ( / |` ( ZZ X. NN ) ) y ) )
9	2, 4, 8	3bitr2i 208	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x ( / |` ( ZZ X. NN ) ) y ) )
10		ovres 6088	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x ( / |` ( ZZ X. NN ) ) y ) = ( x / y ) )
11	10	eqeq2d 2217	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x ( / |` ( ZZ X. NN ) ) y ) <-> A = ( x / y ) ) )
12	11	2rexbiia 2522	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x ( / |` ( ZZ X. NN ) ) y ) <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13	9, 12	bitri 184	1 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   C_ wss 3166   X. cxp 4674   |` cres 4678   "cima 4679   Fn wfn 5267  (class class class)co 5946   / cdiv 8747   NNcn 9038   ZZcz 9374   QQcq 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-z 9375  df-q 9743

This theorem is referenced by:  qmulz  9746  znq  9747  qre  9748  zq  9749  qaddcl  9758  qnegcl  9759  qmulcl  9760  qapne  9762  qreccl  9765  elpq  9772  qtri3or  10385  eirrap  12122  qredeu  12452  sqrt2irr  12517  sqrt2irrap  12535  pceu  12651  pcqmul  12659  pcqcl  12662  pcneg  12681  pcz  12688  pcadd  12696  logbgcd1irrap  15475