Theorem cncfmet 15457

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	|- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
cncfmet.2	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
cncfmet.3	|- J = ( MetOpen ` C )
cncfmet.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
2		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
3		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
5	4	oveqi 6063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C w ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w )
6		ovres 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
7	5, 6	eqtrid 2277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
8	7	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
9		ssel2 3233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> x e. CC )
10		ssel2 3233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ w e. A ) -> w e. CC )
11		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
12	11	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
14	8, 13	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
16	15	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( x C w ) < z <-> ( abs ` ( x - w ) ) < z ) )
17		ffvelcdm 5810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. B )
19		ffvelcdm 5810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ w e. A ) -> ( f ` w ) e. B )
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. B )
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
22	21	oveqi 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) )
23		ovres 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
24	22, 23	eqtrid 2277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
25	18, 20, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
26		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
27	26, 18	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. CC )
28	26, 20	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. CC )
29	11	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` w ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
31	25, 30	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
32	31	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y <-> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) )
33	16, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
34	33	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
35	34	ralbidva 2538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
36	35	rexbidv 2543	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
37	36	ralbidv 2542	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
38	37	ralbidva 2538	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
39	38	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
40		cnxmet 15396	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41		xmetres2 15244	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
42	40, 41	mpan 424	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
43	4, 42	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( A C_ CC -> C e. ( *Met ` A ) )
44		xmetres2 15244	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
45	40, 44	mpan 424	. . . . 5 |- ( B C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
46	21, 45	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( B C_ CC -> D e. ( *Met ` B ) )
47		cncfmet.3	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` C )
48		cncfmet.4	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
49	47, 48	metcn 15379	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` A ) /\ D e. ( *Met ` B ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
50	43, 46, 49	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
51		elcncf 15438	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
52	39, 50, 51	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> f e. ( J Cn K ) ) )
53	52	eqrdv 2230	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   |` cres 4751   o. ccom 4753   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   < clt 8308   - cmin 8444   RR+crp 9986   abscabs 11682   *Metcxmet 14684   MetOpencmopn 14689   Cn ccn 15050   -cn->ccncf 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-cncf 15436

This theorem is referenced by:  cncfcncntop  15458