Theorem cncfmet 14771

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	|- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
cncfmet.2	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
cncfmet.3	|- J = ( MetOpen ` C )
cncfmet.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
2		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
3		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
5	4	oveqi 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C w ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w )
6		ovres 6060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
7	5, 6	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
8	7	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
9		ssel2 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> x e. CC )
10		ssel2 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ w e. A ) -> w e. CC )
11		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
12	11	cnmetdval 14708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
14	8, 13	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
16	15	breq1d 4040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( x C w ) < z <-> ( abs ` ( x - w ) ) < z ) )
17		ffvelcdm 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. B )
19		ffvelcdm 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ w e. A ) -> ( f ` w ) e. B )
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. B )
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
22	21	oveqi 5932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) )
23		ovres 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
24	22, 23	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
25	18, 20, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
27	26, 18	sseldd 3181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. CC )
28	26, 20	sseldd 3181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. CC )
29	11	cnmetdval 14708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` w ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
31	25, 30	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
32	31	breq1d 4040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y <-> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) )
33	16, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
34	33	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
35	34	ralbidva 2490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
36	35	rexbidv 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
37	36	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
38	37	ralbidva 2490	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
39	38	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
40		cnxmet 14710	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41		xmetres2 14558	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
42	40, 41	mpan 424	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
43	4, 42	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( A C_ CC -> C e. ( *Met ` A ) )
44		xmetres2 14558	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
45	40, 44	mpan 424	. . . . 5 |- ( B C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
46	21, 45	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( B C_ CC -> D e. ( *Met ` B ) )
47		cncfmet.3	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` C )
48		cncfmet.4	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
49	47, 48	metcn 14693	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` A ) /\ D e. ( *Met ` B ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
50	43, 46, 49	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
51		elcncf 14752	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
52	39, 50, 51	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> f e. ( J Cn K ) ) )
53	52	eqrdv 2191	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   |` cres 4662   o. ccom 4664   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   < clt 8056   - cmin 8192   RR+crp 9722   abscabs 11144   *Metcxmet 14035   MetOpencmopn 14040   Cn ccn 14364   -cn->ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  cncfcncntop  14772