Theorem cncfmet 13219

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	|- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
cncfmet.2	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
cncfmet.3	|- J = ( MetOpen ` C )
cncfmet.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
2		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
3		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
5	4	oveqi 5855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C w ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w )
6		ovres 5981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
7	5, 6	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
8	7	ad2ant2l 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
9		ssel2 3137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> x e. CC )
10		ssel2 3137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ w e. A ) -> w e. CC )
11		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
12	11	cnmetdval 13169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
13	9, 10, 12	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
14	8, 13	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
16	15	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( x C w ) < z <-> ( abs ` ( x - w ) ) < z ) )
17		ffvelrn 5618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
18	17	ad2ant2lr 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. B )
19		ffvelrn 5618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ w e. A ) -> ( f ` w ) e. B )
20	19	ad2ant2l 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. B )
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
22	21	oveqi 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) )
23		ovres 5981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
24	22, 23	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
25	18, 20, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
26		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
27	26, 18	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. CC )
28	26, 20	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. CC )
29	11	cnmetdval 13169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` w ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
31	25, 30	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
32	31	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y <-> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) )
33	16, 32	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
34	33	anassrs 398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
35	34	ralbidva 2462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
36	35	rexbidv 2467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
37	36	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
38	37	ralbidva 2462	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
39	38	pm5.32da 448	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
40		cnxmet 13171	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41		xmetres2 13019	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
42	40, 41	mpan 421	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
43	4, 42	eqeltrid 2253	. . . 4 |- ( A C_ CC -> C e. ( *Met ` A ) )
44		xmetres2 13019	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
45	40, 44	mpan 421	. . . . 5 |- ( B C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
46	21, 45	eqeltrid 2253	. . . 4 |- ( B C_ CC -> D e. ( *Met ` B ) )
47		cncfmet.3	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` C )
48		cncfmet.4	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
49	47, 48	metcn 13154	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` A ) /\ D e. ( *Met ` B ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
50	43, 46, 49	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
51		elcncf 13200	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
52	39, 50, 51	3bitr4rd 220	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> f e. ( J Cn K ) ) )
53	52	eqrdv 2163	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   |` cres 4606   o. ccom 4608   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   < clt 7933   - cmin 8069   RR+crp 9589   abscabs 10939   *Metcxmet 12620   MetOpencmopn 12625   Cn ccn 12825   -cn->ccncf 13197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-cncf 13198

This theorem is referenced by:  cncfcncntop  13220