Theorem cncfmet 13746

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	|- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
cncfmet.2	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
cncfmet.3	|- J = ( MetOpen ` C )
cncfmet.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
2		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
3		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
5	4	oveqi 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C w ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w )
6		ovres 6008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
7	5, 6	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
8	7	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
9		ssel2 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> x e. CC )
10		ssel2 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ w e. A ) -> w e. CC )
11		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
12	11	cnmetdval 13696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
14	8, 13	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
16	15	breq1d 4010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( x C w ) < z <-> ( abs ` ( x - w ) ) < z ) )
17		ffvelcdm 5645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. B )
19		ffvelcdm 5645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ w e. A ) -> ( f ` w ) e. B )
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. B )
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
22	21	oveqi 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) )
23		ovres 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
24	22, 23	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
25	18, 20, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
27	26, 18	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. CC )
28	26, 20	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. CC )
29	11	cnmetdval 13696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` w ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
31	25, 30	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
32	31	breq1d 4010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y <-> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) )
33	16, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
34	33	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
35	34	ralbidva 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
36	35	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
37	36	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
38	37	ralbidva 2473	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
39	38	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
40		cnxmet 13698	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41		xmetres2 13546	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
42	40, 41	mpan 424	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
43	4, 42	eqeltrid 2264	. . . 4 |- ( A C_ CC -> C e. ( *Met ` A ) )
44		xmetres2 13546	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
45	40, 44	mpan 424	. . . . 5 |- ( B C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
46	21, 45	eqeltrid 2264	. . . 4 |- ( B C_ CC -> D e. ( *Met ` B ) )
47		cncfmet.3	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` C )
48		cncfmet.4	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
49	47, 48	metcn 13681	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` A ) /\ D e. ( *Met ` B ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
50	43, 46, 49	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
51		elcncf 13727	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
52	39, 50, 51	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> f e. ( J Cn K ) ) )
53	52	eqrdv 2175	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   X. cxp 4621   |` cres 4625   o. ccom 4627   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   < clt 7982   - cmin 8118   RR+crp 9640   abscabs 10990   *Metcxmet 13147   MetOpencmopn 13152   Cn ccn 13352   -cn->ccncf 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-cncf 13725

This theorem is referenced by:  cncfcncntop  13747