Theorem cncfmet 13650

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	|- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
cncfmet.2	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
cncfmet.3	|- J = ( MetOpen ` C )
cncfmet.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
2		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
3		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
5	4	oveqi 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C w ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w )
6		ovres 6004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
7	5, 6	eqtrid 2220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
8	7	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
9		ssel2 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> x e. CC )
10		ssel2 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ CC /\ w e. A ) -> w e. CC )
11		eqid 2175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
12	11	cnmetdval 13600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
14	8, 13	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ ( A C_ CC /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x C w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
16	15	breq1d 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( x C w ) < z <-> ( abs ` ( x - w ) ) < z ) )
17		ffvelcdm 5641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. B )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. B )
19		ffvelcdm 5641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> B /\ w e. A ) -> ( f ` w ) e. B )
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. B )
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
22	21	oveqi 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) )
23		ovres 6004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
24	22, 23	eqtrid 2220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` w ) e. B ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
25	18, 20, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
27	26, 18	sseldd 3154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` x ) e. CC )
28	26, 20	sseldd 3154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( f ` w ) e. CC )
29	11	cnmetdval 13600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` w ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
31	25, 30	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) = ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) )
32	31	breq1d 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y <-> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) )
33	16, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
34	33	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
35	34	ralbidva 2471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
36	35	rexbidv 2476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
37	36	ralbidv 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
38	37	ralbidva 2471	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ f : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
39	38	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
40		cnxmet 13602	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41		xmetres2 13450	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
42	40, 41	mpan 424	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
43	4, 42	eqeltrid 2262	. . . 4 |- ( A C_ CC -> C e. ( *Met ` A ) )
44		xmetres2 13450	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
45	40, 44	mpan 424	. . . . 5 |- ( B C_ CC -> ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
46	21, 45	eqeltrid 2262	. . . 4 |- ( B C_ CC -> D e. ( *Met ` B ) )
47		cncfmet.3	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` C )
48		cncfmet.4	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
49	47, 48	metcn 13585	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` A ) /\ D e. ( *Met ` B ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
50	43, 46, 49	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( x C w ) < z -> ( ( f ` x ) D ( f ` w ) ) < y ) ) ) )
51		elcncf 13631	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> ( f : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) ) )
52	39, 50, 51	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) <-> f e. ( J Cn K ) ) )
53	52	eqrdv 2173	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   C_ wss 3127   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   |` cres 4622   o. ccom 4624   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   < clt 7966   - cmin 8102   RR+crp 9624   abscabs 10974   *Metcxmet 13051   MetOpencmopn 13056   Cn ccn 13256   -cn->ccncf 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-cn 13259  df-cnp 13260  df-cncf 13629

This theorem is referenced by:  cncfcncntop  13651