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Theorem cncfmet 13746
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
cncfmet.2  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
cncfmet.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
cncfmet.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cncfmet  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
2 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
54oveqi 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x C w )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )
6 ovres 6008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
75, 6eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
87ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
9 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
10 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  CC )
11 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1211cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
139, 10, 12syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
148, 13eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
1615breq1d 4010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
x C w )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z
) )
17 ffvelcdm 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
1817ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  B
)
19 ffvelcdm 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( f `  w
)  e.  B )
2019ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  B
)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
2221oveqi 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ( f `
 w ) )
23 ovres 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  w ) ) )
2422, 23eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) D ( f `  w
) )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 w ) ) )
2518, 20, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
f `  w )
) )
26 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
2726, 18sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  CC )
2826, 20sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  CC )
2911cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  w
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x )
( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3125, 30eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) ) )
3231breq1d 4010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
) )
3316, 32imbi12d 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3433anassrs 400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3534ralbidva 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3635rexbidv 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
x C w )  <  z  ->  (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3837ralbidva 2473 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3938pm5.32da 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y ) )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
40 cnxmet 13698 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41 xmetres2 13546 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A ) )
4240, 41mpan 424 . . . . 5  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( *Met `  A
) )
434, 42eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  C  e.  ( *Met `  A ) )
44 xmetres2 13546 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )  e.  ( *Met `  B ) )
4540, 44mpan 424 . . . . 5  |-  ( B 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  e.  ( *Met `  B
) )
4621, 45eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( B 
C_  CC  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
47 cncfmet.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
48 cncfmet.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
4947, 48metcn 13681 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  A )  /\  D  e.  ( *Met `  B
) )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
5043, 46, 49syl2an 289 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
51 elcncf 13727 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
5239, 50, 513bitr4rd 221 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
5352eqrdv 2175 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000    X. cxp 4621    |` cres 4625    o. ccom 4627   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800    < clt 7982    - cmin 8118   RR+crp 9640   abscabs 10990   *Metcxmet 13147   MetOpencmopn 13152    Cn ccn 13352   -cn->ccncf 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-cncf 13725
This theorem is referenced by:  cncfcncntop  13747
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