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Theorem cncfmet 13650
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
cncfmet.2  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
cncfmet.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
cncfmet.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cncfmet  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
2 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
54oveqi 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x C w )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )
6 ovres 6004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
75, 6eqtrid 2220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
87ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
9 ssel2 3148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
10 ssel2 3148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  CC )
11 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1211cnmetdval 13600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
139, 10, 12syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
148, 13eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
1615breq1d 4008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
x C w )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z
) )
17 ffvelcdm 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
1817ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  B
)
19 ffvelcdm 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( f `  w
)  e.  B )
2019ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  B
)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
2221oveqi 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ( f `
 w ) )
23 ovres 6004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  w ) ) )
2422, 23eqtrid 2220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) D ( f `  w
) )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 w ) ) )
2518, 20, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
f `  w )
) )
26 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
2726, 18sseldd 3154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  CC )
2826, 20sseldd 3154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  CC )
2911cnmetdval 13600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  w
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x )
( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3125, 30eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) ) )
3231breq1d 4008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
) )
3316, 32imbi12d 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3433anassrs 400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3534ralbidva 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3635rexbidv 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
x C w )  <  z  ->  (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3837ralbidva 2471 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3938pm5.32da 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y ) )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
40 cnxmet 13602 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41 xmetres2 13450 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A ) )
4240, 41mpan 424 . . . . 5  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( *Met `  A
) )
434, 42eqeltrid 2262 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  C  e.  ( *Met `  A ) )
44 xmetres2 13450 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )  e.  ( *Met `  B ) )
4540, 44mpan 424 . . . . 5  |-  ( B 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  e.  ( *Met `  B
) )
4621, 45eqeltrid 2262 . . . 4  |-  ( B 
C_  CC  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
47 cncfmet.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
48 cncfmet.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
4947, 48metcn 13585 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  A )  /\  D  e.  ( *Met `  B
) )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
5043, 46, 49syl2an 289 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
51 elcncf 13631 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
5239, 50, 513bitr4rd 221 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
5352eqrdv 2173 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454    C_ wss 3127   class class class wbr 3998    X. cxp 4618    |` cres 4622    o. ccom 4624   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784    < clt 7966    - cmin 8102   RR+crp 9624   abscabs 10974   *Metcxmet 13051   MetOpencmopn 13056    Cn ccn 13256   -cn->ccncf 13628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-cn 13259  df-cnp 13260  df-cncf 13629
This theorem is referenced by:  cncfcncntop  13651
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