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Theorem cncfmet 12774
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
cncfmet.2  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
cncfmet.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
cncfmet.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cncfmet  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
2 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3 simprr 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
54oveqi 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x C w )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )
6 ovres 5913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
75, 6syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
87ad2ant2l 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
9 ssel2 3092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
10 ssel2 3092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  CC )
11 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1211cnmetdval 12724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
139, 10, 12syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
148, 13eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
1615breq1d 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
x C w )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z
) )
17 ffvelrn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
1817ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  B
)
19 ffvelrn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( f `  w
)  e.  B )
2019ad2ant2l 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  B
)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
2221oveqi 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ( f `
 w ) )
23 ovres 5913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  w ) ) )
2422, 23syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) D ( f `  w
) )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 w ) ) )
2518, 20, 24syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
f `  w )
) )
26 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
2726, 18sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  CC )
2826, 20sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  CC )
2911cnmetdval 12724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  w
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x )
( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3125, 30eqtrd 2172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) ) )
3231breq1d 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
) )
3316, 32imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3433anassrs 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3534ralbidva 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3635rexbidv 2438 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
x C w )  <  z  ->  (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3837ralbidva 2433 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3938pm5.32da 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y ) )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
40 cnxmet 12726 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41 xmetres2 12574 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A ) )
4240, 41mpan 420 . . . . 5  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( *Met `  A
) )
434, 42eqeltrid 2226 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  C  e.  ( *Met `  A ) )
44 xmetres2 12574 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )  e.  ( *Met `  B ) )
4540, 44mpan 420 . . . . 5  |-  ( B 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  e.  ( *Met `  B
) )
4621, 45eqeltrid 2226 . . . 4  |-  ( B 
C_  CC  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
47 cncfmet.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
48 cncfmet.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
4947, 48metcn 12709 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  A )  /\  D  e.  ( *Met `  B
) )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
5043, 46, 49syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
51 elcncf 12755 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
5239, 50, 513bitr4rd 220 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
5352eqrdv 2137 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   class class class wbr 3932    X. cxp 4540    |` cres 4544    o. ccom 4546   -->wf 5122   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   CCcc 7637    < clt 7819    - cmin 7952   RR+crp 9463   abscabs 10793   *Metcxmet 12175   MetOpencmopn 12180    Cn ccn 12380   -cn->ccncf 12752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-map 6547  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-xneg 9582  df-xadd 9583  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-topgen 12167  df-psmet 12182  df-xmet 12183  df-met 12184  df-bl 12185  df-mopn 12186  df-top 12191  df-topon 12204  df-bases 12236  df-cn 12383  df-cnp 12384  df-cncf 12753
This theorem is referenced by:  cncfcncntop  12775
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