Theorem blres 14670

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	|- C = ( D |` ( Y X. Y ) )

Assertion

Ref	Expression
blres	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Proof of Theorem blres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 3350	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. Y )
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( D |` ( Y X. Y ) )
3	2	oveqi 5935	. . . . . . . . . 10 |- ( P C x ) = ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x )
4		ovres 6063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x ) = ( P D x ) )
5	3, 4	eqtrid 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
7	6	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( P C x ) < R <-> ( P D x ) < R ) )
8	7	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
9	8	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
11		elin 3346	. . . . . . 7 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. X /\ x e. Y ) )
12		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . 6 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
14	13	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) )
15		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
16	14, 15	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
17		ancom 266	. . . 4 |- ( ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
18	10, 16, 17	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
19		xmetres 14618	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
20	2, 19	eqeltrid 2283	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
21		elbl 14627	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
22	20, 21	syl3an1 1282	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
23		elin 3346	. . . 4 |- ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) )
24		elinel1 3349	. . . . . 6 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. X )
25		elbl 14627	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
26	24, 25	syl3an2 1283	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
27	26	anbi1d 465	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
28	23, 27	bitrid 192	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
29	18, 22, 28	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) ) )
30	29	eqrdv 2194	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   i^i cin 3156   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   |` cres 4665   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RR*cxr 8060   < clt 8061   *Metcxmet 14092   ballcbl 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-bl 14102

This theorem is referenced by:  metrest  14742