Theorem blres 14906

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	|- C = ( D |` ( Y X. Y ) )

Assertion

Ref	Expression
blres	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Proof of Theorem blres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 3360	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. Y )
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( D |` ( Y X. Y ) )
3	2	oveqi 5957	. . . . . . . . . 10 |- ( P C x ) = ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x )
4		ovres 6086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x ) = ( P D x ) )
5	3, 4	eqtrid 2250	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
7	6	breq1d 4054	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( P C x ) < R <-> ( P D x ) < R ) )
8	7	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
9	8	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1022	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
11		elin 3356	. . . . . . 7 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. X /\ x e. Y ) )
12		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . 6 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
14	13	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) )
15		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
16	14, 15	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
17		ancom 266	. . . 4 |- ( ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
18	10, 16, 17	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
19		xmetres 14854	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
20	2, 19	eqeltrid 2292	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
21		elbl 14863	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
22	20, 21	syl3an1 1283	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
23		elin 3356	. . . 4 |- ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) )
24		elinel1 3359	. . . . . 6 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. X )
25		elbl 14863	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
26	24, 25	syl3an2 1284	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
27	26	anbi1d 465	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
28	23, 27	bitrid 192	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
29	18, 22, 28	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) ) )
30	29	eqrdv 2203	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   i^i cin 3165   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   |` cres 4677   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RR*cxr 8106   < clt 8107   *Metcxmet 14298   ballcbl 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-bl 14308

This theorem is referenced by:  metrest  14978