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Theorem blres 12617
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
blres  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem blres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 3263 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  Y )
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
32oveqi 5787 . . . . . . . . . 10  |-  ( P C x )  =  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )
4 ovres 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )  =  ( P D x ) )
53, 4syl5eq 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
61, 5sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
76breq1d 3939 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P C x )  <  R  <->  ( P D x )  <  R ) )
87anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
98pm5.32da 447 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) ) )
1093ad2ant2 1003 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) ) )
11 elin 3259 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
12 ancom 264 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X )
)
1311, 12bitri 183 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
1413anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  x  e.  X )  /\  ( P C x )  <  R ) )
15 anass 398 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  X
)  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
1614, 15bitri 183 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
17 ancom 264 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1810, 16, 173bitr4g 222 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
19 xmetres 12565 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
202, 19eqeltrid 2226 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
21 elbl 12574 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
2220, 21syl3an1 1249 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
23 elin 3259 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y
) )
24 elinel1 3262 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  X )
25 elbl 12574 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
2624, 25syl3an2 1250 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
2726anbi1d 460 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
2823, 27syl5bb 191 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  x  e.  Y ) ) )
2918, 22, 283bitr4d 219 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y ) ) )
3029eqrdv 2137 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    i^i cin 3070   class class class wbr 3929    X. cxp 4537    |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RR*cxr 7811    < clt 7812   *Metcxmet 12163   ballcbl 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173
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