Theorem blres 15108

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	|- C = ( D |` ( Y X. Y ) )

Assertion

Ref	Expression
blres	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Proof of Theorem blres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 3391	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. Y )
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( D |` ( Y X. Y ) )
3	2	oveqi 6014	. . . . . . . . . 10 |- ( P C x ) = ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x )
4		ovres 6145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x ) = ( P D x ) )
5	3, 4	eqtrid 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
7	6	breq1d 4093	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( P C x ) < R <-> ( P D x ) < R ) )
8	7	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
9	8	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1043	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
11		elin 3387	. . . . . . 7 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. X /\ x e. Y ) )
12		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . 6 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
14	13	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) )
15		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
16	14, 15	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
17		ancom 266	. . . 4 |- ( ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
18	10, 16, 17	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
19		xmetres 15056	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
20	2, 19	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
21		elbl 15065	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
22	20, 21	syl3an1 1304	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
23		elin 3387	. . . 4 |- ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) )
24		elinel1 3390	. . . . . 6 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. X )
25		elbl 15065	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
26	24, 25	syl3an2 1305	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
27	26	anbi1d 465	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
28	23, 27	bitrid 192	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
29	18, 22, 28	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) ) )
30	29	eqrdv 2227	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   i^i cin 3196   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   |` cres 4721   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   RR*cxr 8180   < clt 8181   *Metcxmet 14500   ballcbl 14502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-map 6797  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-bl 14510

This theorem is referenced by:  metrest  15180