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Theorem blres 12530
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
blres  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem blres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 3233 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  Y )
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
32oveqi 5755 . . . . . . . . . 10  |-  ( P C x )  =  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )
4 ovres 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )  =  ( P D x ) )
53, 4syl5eq 2162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
61, 5sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
76breq1d 3909 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P C x )  <  R  <->  ( P D x )  <  R ) )
87anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
98pm5.32da 447 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) ) )
1093ad2ant2 988 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) ) )
11 elin 3229 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
12 ancom 264 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X )
)
1311, 12bitri 183 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
1413anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  x  e.  X )  /\  ( P C x )  <  R ) )
15 anass 398 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  X
)  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
1614, 15bitri 183 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
17 ancom 264 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1810, 16, 173bitr4g 222 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
19 xmetres 12478 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
202, 19eqeltrid 2204 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
21 elbl 12487 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
2220, 21syl3an1 1234 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
23 elin 3229 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y
) )
24 elinel1 3232 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  X )
25 elbl 12487 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
2624, 25syl3an2 1235 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
2726anbi1d 460 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
2823, 27syl5bb 191 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  x  e.  Y ) ) )
2918, 22, 283bitr4d 219 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y ) ) )
3029eqrdv 2115 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465    i^i cin 3040   class class class wbr 3899    X. cxp 4507    |` cres 4511   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RR*cxr 7767    < clt 7768   *Metcxmet 12076   ballcbl 12078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-psmet 12083  df-xmet 12084  df-bl 12086
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