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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > grpissubg | Unicode version |
Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) |
Ref | Expression |
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grpissubg.b |
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grpissubg.s |
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Ref | Expression |
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grpissubg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpl 109 |
. . . 4
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2 | 1 | adantl 277 |
. . 3
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3 | grpissubg.s |
. . . . . 6
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4 | eqid 2187 |
. . . . . 6
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5 | 3, 4 | grpidcl 12923 |
. . . . 5
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6 | elex2 2765 |
. . . . 5
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . 4
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8 | 7 | ad2antlr 489 |
. . 3
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9 | grpmnd 12903 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | mndmgm 12842 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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12 | grpmnd 12903 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | mndmgm 12842 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 11, 14 | anim12i 338 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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18 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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20 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | anim1i 340 |
. . . . . . 7
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22 | grpissubg.b |
. . . . . . . 8
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23 | 22, 3 | mgmsscl 12798 |
. . . . . . 7
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24 | 17, 19, 21, 23 | syl3anc 1248 |
. . . . . 6
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25 | 24 | ralrimiva 2560 |
. . . . 5
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26 | simpl 109 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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28 | simplr 528 |
. . . . . . . 8
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29 | 22 | sseq2i 3194 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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33 | ovres 6027 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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35 | oveq 5894 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | 35 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 36 | eqcomd 2193 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 37 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 34, 38 | eqtr3d 2222 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | ralrimivva 2569 |
. . . . . . . 8
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41 | 27, 28, 3, 32, 40 | grpinvssd 12971 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | imp 124 |
. . . . . 6
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43 | eqid 2187 |
. . . . . . . 8
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44 | 3, 43 | grpinvcl 12942 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | ad4ant24 516 |
. . . . . 6
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46 | 42, 45 | eqeltrrd 2265 |
. . . . 5
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47 | 25, 46 | jca 306 |
. . . 4
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48 | 47 | ralrimiva 2560 |
. . 3
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49 | eqid 2187 |
. . . . 5
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50 | eqid 2187 |
. . . . 5
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51 | 22, 49, 50 | issubg2m 13078 |
. . . 4
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52 | 51 | ad2antrr 488 |
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53 | 2, 8, 48, 52 | mpbir3and 1181 |
. 2
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54 | 53 | ex 115 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-addcom 7924 ax-addass 7926 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltadd 7940 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-id 4305 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-ltxr 8010 df-inn 8933 df-2 8991 df-ndx 12478 df-slot 12479 df-base 12481 df-sets 12482 df-iress 12483 df-plusg 12563 df-0g 12724 df-mgm 12793 df-sgrp 12826 df-mnd 12837 df-grp 12899 df-minusg 12900 df-subg 13059 |
This theorem is referenced by: resgrpisgrp 13084 |
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