ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmseq0 Unicode version

Theorem xmseq0 12637
Description: The distance between two points in an extended metric space is zero iff the two points are identical. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
xmseq0  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A D B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem xmseq0
StepHypRef Expression
1 ovres 5910 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
213adant1 999 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
32eqeq1d 2148 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  0  <->  ( A D B )  =  0 ) )
4 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
5 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
64, 5xmsxmet2 12632 . . 3  |-  ( M  e.  *MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
7 xmeteq0 12528 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  0  <->  A  =  B ) )
86, 7syl3an1 1249 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  0  <->  A  =  B ) )
93, 8bitr3d 189 1  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A D B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    X. cxp 4537    |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   Basecbs 11959   distcds 12030   *Metcxmet 12149   *MetSpcxms 12505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-tset 12040  df-rest 12122  df-topn 12123  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-topsp 12198  df-bases 12210  df-xms 12508
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator