Theorem ovg 6007

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovg.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
ovg.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
ovg.3	|- ( z = C -> ( ch <-> th ) )
ovg.4	|- ( ( ta /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> E! z ph )
ovg.5	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovg	|- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> th ) )

Distinct variable groups:   ps, x   ch, x, y   th, x, y, z   ta, x, y   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( y, z)   ch( z)   ta( z)   D( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovg

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5872	. . . . 5 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		ovg.5	. . . . . 6 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
3	2	fveq1i 5512	. . . . 5 |- ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. )
4	1, 3	eqtri 2198	. . . 4 |- ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. )
5	4	eqeq1i 2185	. . 3 |- ( ( A F B ) = C <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C )
6		eqeq2 2187	. . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C ) )
7		opeq2 3777	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = C -> <. <. A , B >. , c >. = <. <. A , B >. , C >. )
8	7	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> ( <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( c = C -> ( ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) <-> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( c = C -> ( ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) <-> ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) ) )
11		ovg.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ta /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> E! z ph )
12	11	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) )
13	12	alrimivv 1875	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> A. x A. y ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) )
14		fnoprabg 5970	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x A. y ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ta -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
16		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( x e. R <-> A e. R ) )
17	16	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( ( x e. R /\ y e. S ) <-> ( A e. R /\ y e. S ) ) )
18		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( y e. S <-> B e. S ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( ( A e. R /\ y e. S ) <-> ( A e. R /\ B e. S ) ) )
20	17, 19	opelopabg 4265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( A e. R /\ B e. S ) ) )
21	20	ibir 177	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
22		fnopfvb 5553	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
23	15, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
24	10, 23	vtoclg 2797	. . . . . . 7 |- ( C e. D -> ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
25	24	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( C e. D -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
26	25	exp32 365	. . . . 5 |- ( ta -> ( A e. R -> ( B e. S -> ( C e. D -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) ) ) )
27	26	3imp2 1222	. . . 4 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
28		ovg.1	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
29	17, 28	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( A e. R /\ y e. S ) /\ ps ) ) )
30		ovg.2	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
31	19, 30	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( ( A e. R /\ y e. S ) /\ ps ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ch ) ) )
32		ovg.3	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( ch <-> th ) )
33	32	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ch ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
34	29, 31, 33	eloprabg 5957	. . . . 5 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
35	34	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
36	27, 35	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
37	5, 36	bitrid 192	. 2 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
38		biidd 172	. . . . 5 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
39	38	bianabs 611	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
40	39	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
41	40	adantl 277	. 2 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
42	37, 41	bitrd 188	1 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> th ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   E!weu 2026   e. wcel 2148   <.cop 3594   {copab 4060   Fn wfn 5207   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   {coprab 5870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873

This theorem is referenced by: (None)