Theorem ovg 6218

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovg.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
ovg.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
ovg.3	|- ( z = C -> ( ch <-> th ) )
ovg.4	|- ( ( ta /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> E! z ph )
ovg.5	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovg	|- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> th ) )

Distinct variable groups:   ps, x   ch, x, y   th, x, y, z   ta, x, y   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( y, z)   ch( z)   ta( z)   D( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovg

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6078	. . . . 5 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		ovg.5	. . . . . 6 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
3	2	fveq1i 5691	. . . . 5 |- ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. )
4	1, 3	eqtri 2259	. . . 4 |- ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. )
5	4	eqeq1i 2246	. . 3 |- ( ( A F B ) = C <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C )
6		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C ) )
7		opeq2 3900	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = C -> <. <. A , B >. , c >. = <. <. A , B >. , C >. )
8	7	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> ( <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( c = C -> ( ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) <-> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( c = C -> ( ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) <-> ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) ) )
11		ovg.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ta /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> E! z ph )
12	11	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) )
13	12	alrimivv 1928	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> A. x A. y ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) )
14		fnoprabg 6179	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x A. y ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ta -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
16		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( x e. R <-> A e. R ) )
17	16	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( ( x e. R /\ y e. S ) <-> ( A e. R /\ y e. S ) ) )
18		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( y e. S <-> B e. S ) )
19	18	anbi2d 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( ( A e. R /\ y e. S ) <-> ( A e. R /\ B e. S ) ) )
20	17, 19	opelopabg 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( A e. R /\ B e. S ) ) )
21	20	ibir 177	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
22		fnopfvb 5736	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
23	15, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
24	10, 23	vtoclg 2883	. . . . . . 7 |- ( C e. D -> ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
25	24	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( C e. D -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
26	25	exp32 365	. . . . 5 |- ( ta -> ( A e. R -> ( B e. S -> ( C e. D -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) ) ) )
27	26	3imp2 1253	. . . 4 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
28		ovg.1	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
29	17, 28	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( A e. R /\ y e. S ) /\ ps ) ) )
30		ovg.2	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
31	19, 30	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( ( A e. R /\ y e. S ) /\ ps ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ch ) ) )
32		ovg.3	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( ch <-> th ) )
33	32	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ch ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
34	29, 31, 33	eloprabg 6166	. . . . 5 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
35	34	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
36	27, 35	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
37	5, 36	bitrid 192	. 2 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
38		biidd 172	. . . . 5 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
39	38	bianabs 619	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
40	39	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
41	40	adantl 277	. 2 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
42	37, 41	bitrd 188	1 |- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> th ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   E!weu 2086   e. wcel 2209   <.cop 3708   {copab 4186   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   {coprab 6076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079

This theorem is referenced by: (None)