Theorem phpeqd 6922

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of phpm 6855 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		phpeqd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		phpeqd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
4		ensymb 6770	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)
5		fisseneq 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
6	4, 5	syl3an3br 1279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
7	6	eqcomd 2181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1238	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3127   class class class wbr 3998   ≈ cen 6728  Fincfn 6730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733

This theorem is referenced by: (None)