Theorem plybss 15727

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables a f n x k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15724	. . 3 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5765	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
3	2	elpwid 3685	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   E.wrex 2523   u. cun 3212   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674   {csn 3694   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   CCcc 8141   0cc0 8143   x. cmul 8148   NN0cn0 9516   ...cfz 10364   ^cexp 10927   sum_csu 12066  Polycply 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ply 15724

This theorem is referenced by:  elply  15728  plyf  15731  plyssc  15733  plyaddlem  15743  plymullem  15744  plysub  15747  plycolemc  15752  plycjlemc  15754  plycn  15756  plyreres  15758