Theorem plybss 14912

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables a f n x k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 14909	. . 3 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5641	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
3	2	elpwid 3613	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   u. cun 3152   C_ wss 3154   ~Pcpw 3602   {csn 3619   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   CCcc 7872   0cc0 7874   x. cmul 7879   NN0cn0 9243   ...cfz 10077   ^cexp 10612   sum_csu 11499  Polycply 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ply 14909

This theorem is referenced by:  elply  14913  plyf  14916  plyssc  14918  plyaddlem  14928  plymullem  14929  plysub  14932  plycolemc  14936  plycjlemc  14938  plycn  14940  plyreres  14942