Theorem plybss 15372

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables a f n x k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15369	. . 3 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5690	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
3	2	elpwid 3640	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1375   e. wcel 2180   {cab 2195   E.wrex 2489   u. cun 3175   C_ wss 3177   ~Pcpw 3629   {csn 3646   |-> cmpt 4124   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765   CCcc 7965   0cc0 7967   x. cmul 7972   NN0cn0 9337   ...cfz 10172   ^cexp 10727   sum_csu 11830  Polycply 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ply 15369

This theorem is referenced by:  elply  15373  plyf  15376  plyssc  15378  plyaddlem  15388  plymullem  15389  plysub  15392  plycolemc  15397  plycjlemc  15399  plycn  15401  plyreres  15403