Theorem plybss 15249

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables a f n x k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15246	. . 3 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5669	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
3	2	elpwid 3628	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   {cab 2192   E.wrex 2486   u. cun 3165   C_ wss 3167   ~Pcpw 3617   {csn 3634   |-> cmpt 4109   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   ^m cmap 6742   CCcc 7930   0cc0 7932   x. cmul 7937   NN0cn0 9302   ...cfz 10137   ^cexp 10690   sum_csu 11708  Polycply 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-ply 15246

This theorem is referenced by:  elply  15250  plyf  15253  plyssc  15255  plyaddlem  15265  plymullem  15266  plysub  15269  plycolemc  15274  plycjlemc  15276  plycn  15278  plyreres  15280