Theorem plybss 15817

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables a f n x k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15814	. . 3 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5785	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
3	2	elpwid 3699	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   {csn 3708   |-> cmpt 4190   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ^m cmap 6916   CCcc 8171   0cc0 8173   x. cmul 8178   NN0cn0 9546   ...cfz 10394   ^cexp 10958   sum_csu 12102  Polycply 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ply 15814

This theorem is referenced by:  elply  15818  plyf  15821  plyssc  15823  plyaddlem  15833  plymullem  15834  plysub  15837  plycolemc  15842  plycjlemc  15844  plycn  15846  plyreres  15848