Theorem plyval 15835

Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyval	|- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Distinct variable groups:   S, a, f, n   k, a, z, f, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)

Proof of Theorem plyval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15833	. 2 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2		uneq1 3376	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } ) )
3	2	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
4	3	rexeqdv 2756	. . . 4 |- ( x = S -> ( E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
5	4	rexbidv 2551	. . 3 |- ( x = S -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
6	5	abbidv 2358	. 2 |- ( x = S -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
7		cnex 8303	. . . 4 |- CC e. _V
8	7	elpw2 4293	. . 3 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
9	8	biimpri 133	. 2 |- ( S C_ CC -> S e. ~P CC )
10		nn0ex 9571	. . 3 |- NN0 e. _V
11		fnmap 6929	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
12	7	ssex 4270	. . . . . . 7 |- ( S C_ CC -> S e. _V )
13		c0ex 8320	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
14	13	snex 4322	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4589	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> NN0 e. _V )
18		fnovex 6118	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
19	11, 16, 17, 18	mp3an2i 1383	. . . . 5 |- ( S C_ CC -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
20		abrexexg 6347	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( S C_ CC -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
22	21	ralrimivw 2624	. . 3 |- ( S C_ CC -> A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
23		abrexex2g 6349	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
24	10, 22, 23	sylancr 418	. 2 |- ( S C_ CC -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
25	1, 6, 9, 24	fvmptd3 5799	1 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   {csn 3709   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184   NN0cn0 9565   ...cfz 10413   ^cexp 10977   sum_csu 12121  Polycply 15831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-inn 9306  df-n0 9566  df-ply 15833

This theorem is used by:  elply  15837  plyss  15841