Theorem plyval 15485

Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyval	|- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Distinct variable groups:   S, a, f, n   k, a, z, f, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)

Proof of Theorem plyval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15483	. 2 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2		uneq1 3353	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } ) )
3	2	oveq1d 6038	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
4	3	rexeqdv 2736	. . . 4 |- ( x = S -> ( E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
5	4	rexbidv 2532	. . 3 |- ( x = S -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
6	5	abbidv 2348	. 2 |- ( x = S -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
7		cnex 8161	. . . 4 |- CC e. _V
8	7	elpw2 4248	. . 3 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
9	8	biimpri 133	. 2 |- ( S C_ CC -> S e. ~P CC )
10		nn0ex 9413	. . 3 |- NN0 e. _V
11		fnmap 6829	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
12	7	ssex 4227	. . . . . . 7 |- ( S C_ CC -> S e. _V )
13		c0ex 8178	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
14	13	snex 4277	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4542	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> NN0 e. _V )
18		fnovex 6056	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
19	11, 16, 17, 18	mp3an2i 1378	. . . . 5 |- ( S C_ CC -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
20		abrexexg 6285	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( S C_ CC -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
22	21	ralrimivw 2605	. . 3 |- ( S C_ CC -> A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
23		abrexex2g 6287	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
24	10, 22, 23	sylancr 414	. 2 |- ( S C_ CC -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
25	1, 6, 9, 24	fvmptd3 5743	1 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2201   {cab 2216   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2801   u. cun 3197   C_ wss 3199   ~Pcpw 3653   {csn 3670   |-> cmpt 4151   X. cxp 4725   Fn wfn 5323   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   CCcc 8035   0cc0 8037   x. cmul 8042   NN0cn0 9407   ...cfz 10248   ^cexp 10806   sum_csu 11936  Polycply 15481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-i2m1 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-inn 9149  df-n0 9408  df-ply 15483

This theorem is referenced by:  elply  15487  plyss  15491