Theorem plyval 15816

Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyval	|- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Distinct variable groups:   S, a, f, n   k, a, z, f, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)

Proof of Theorem plyval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15814	. 2 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2		uneq1 3376	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } ) )
3	2	oveq1d 6094	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
4	3	rexeqdv 2756	. . . 4 |- ( x = S -> ( E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
5	4	rexbidv 2551	. . 3 |- ( x = S -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
6	5	abbidv 2358	. 2 |- ( x = S -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
7		cnex 8297	. . . 4 |- CC e. _V
8	7	elpw2 4291	. . 3 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
9	8	biimpri 133	. 2 |- ( S C_ CC -> S e. ~P CC )
10		nn0ex 9552	. . 3 |- NN0 e. _V
11		fnmap 6923	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
12	7	ssex 4268	. . . . . . 7 |- ( S C_ CC -> S e. _V )
13		c0ex 8314	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
14	13	snex 4320	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4587	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> NN0 e. _V )
18		fnovex 6112	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
19	11, 16, 17, 18	mp3an2i 1383	. . . . 5 |- ( S C_ CC -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
20		abrexexg 6341	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( S C_ CC -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
22	21	ralrimivw 2624	. . 3 |- ( S C_ CC -> A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
23		abrexex2g 6343	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
24	10, 22, 23	sylancr 418	. 2 |- ( S C_ CC -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
25	1, 6, 9, 24	fvmptd3 5796	1 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   {csn 3708   |-> cmpt 4190   X. cxp 4770   Fn wfn 5370   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ^m cmap 6916   CCcc 8171   0cc0 8173   x. cmul 8178   NN0cn0 9546   ...cfz 10394   ^cexp 10958   sum_csu 12102  Polycply 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-i2m1 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-inn 9288  df-n0 9547  df-ply 15814

This theorem is referenced by:  elply  15818  plyss  15822