Theorem plyval 15371

Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyval	|- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Distinct variable groups:   S, a, f, n   k, a, z, f, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)

Proof of Theorem plyval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15369	. 2 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2		uneq1 3331	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } ) )
3	2	oveq1d 5989	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
4	3	rexeqdv 2715	. . . 4 |- ( x = S -> ( E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
5	4	rexbidv 2511	. . 3 |- ( x = S -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
6	5	abbidv 2327	. 2 |- ( x = S -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
7		cnex 8091	. . . 4 |- CC e. _V
8	7	elpw2 4220	. . 3 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
9	8	biimpri 133	. 2 |- ( S C_ CC -> S e. ~P CC )
10		nn0ex 9343	. . 3 |- NN0 e. _V
11		fnmap 6772	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
12	7	ssex 4200	. . . . . . 7 |- ( S C_ CC -> S e. _V )
13		c0ex 8108	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
14	13	snex 4248	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4511	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> NN0 e. _V )
18		fnovex 6007	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
19	11, 16, 17, 18	mp3an2i 1357	. . . . 5 |- ( S C_ CC -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V )
20		abrexexg 6233	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( S C_ CC -> { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
22	21	ralrimivw 2584	. . 3 |- ( S C_ CC -> A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
23		abrexex2g 6235	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A. n e. NN0 { f | E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
24	10, 22, 23	sylancr 414	. 2 |- ( S C_ CC -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V )
25	1, 6, 9, 24	fvmptd3 5701	1 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1375   e. wcel 2180   {cab 2195   A.wral 2488   E.wrex 2489   _Vcvv 2779   u. cun 3175   C_ wss 3177   ~Pcpw 3629   {csn 3646   |-> cmpt 4124   X. cxp 4694   Fn wfn 5289   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765   CCcc 7965   0cc0 7967   x. cmul 7972   NN0cn0 9337   ...cfz 10172   ^cexp 10727   sum_csu 11830  Polycply 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-i2m1 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-inn 9079  df-n0 9338  df-ply 15369

This theorem is referenced by:  elply  15373  plyss  15377