Theorem plyssc 15653

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over CC. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	|- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 15647	. . . . 5 |- ( f e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
2		ssid 3260	. . . . 5 |- CC C_ CC
3		plyss 15652	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 |- ( f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
5	4	sseld 3239	. . 3 |- ( f e. (Poly ` S ) -> ( f e. (Poly ` S ) -> f e. (Poly ` CC ) ) )
6	5	pm2.43i 49	. 2 |- ( f e. (Poly ` S ) -> f e. (Poly ` CC ) )
7	6	ssriv 3244	1 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Syntax hints:   e. wcel 2205   C_ wss 3213   ` cfv 5354   CCcc 8130  Polycply 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-i2m1 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-inn 9243  df-n0 9502  df-ply 15644

This theorem is referenced by:  plyaddcl  15668  plymulcl  15669  plysubcl  15670  dvply2  15681