Theorem plysub 15991

Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plymul.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
plysub.5	|- ( ph -> -u 1 e. S )

Assertion

Ref	Expression
plysub	|- ( ph -> ( F oF - G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, S, y   x, G, y   ph, x, y

Proof of Theorem plysub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8310	. . 3 |- CC e. _V
2		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3		plyf 15975	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : CC --> CC )
5		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6		plyf 15975	. . . 4 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G : CC --> CC )
8		ofnegsub 9302	. . 3 |- ( ( CC e. _V /\ F : CC --> CC /\ G : CC --> CC ) -> ( F oF + ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) ) = ( F oF - G ) )
9	1, 4, 7, 8	mp3an2i 1383	. 2 |- ( ph -> ( F oF + ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) ) = ( F oF - G ) )
10		plybss 15971	. . . . . 6 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
11	2, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
12		plysub.5	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. S )
13		plyconst 15983	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ -u 1 e. S ) -> ( CC X. { -u 1 } ) e. (Poly ` S ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( CC X. { -u 1 } ) e. (Poly ` S ) )
15		plyadd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
16		plymul.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
17	14, 5, 15, 16	plymul 15990	. . 3 |- ( ph -> ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
18	2, 17, 15	plyadd 15989	. 2 |- ( ph -> ( F oF + ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) ) e. (Poly ` S ) )
19	9, 18	eqeltrrd 2316	1 |- ( ph -> ( F oF - G ) e. (Poly ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3709   X. cxp 4774   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   CCcc 8184   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   - cmin 8505   -ucneg 8506  Polycply 15966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ply 15968

This theorem is used by:  plysubcl  15994