Theorem plysub 15667

Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plymul.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
plysub.5	|- ( ph -> -u 1 e. S )

Assertion

Ref	Expression
plysub	|- ( ph -> ( F oF - G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, S, y   x, G, y   ph, x, y

Proof of Theorem plysub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8256	. . 3 |- CC e. _V
2		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3		plyf 15651	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : CC --> CC )
5		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6		plyf 15651	. . . 4 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G : CC --> CC )
8		ofnegsub 9241	. . 3 |- ( ( CC e. _V /\ F : CC --> CC /\ G : CC --> CC ) -> ( F oF + ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) ) = ( F oF - G ) )
9	1, 4, 7, 8	mp3an2i 1379	. 2 |- ( ph -> ( F oF + ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) ) = ( F oF - G ) )
10		plybss 15647	. . . . . 6 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
11	2, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
12		plysub.5	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. S )
13		plyconst 15659	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ -u 1 e. S ) -> ( CC X. { -u 1 } ) e. (Poly ` S ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( CC X. { -u 1 } ) e. (Poly ` S ) )
15		plyadd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
16		plymul.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
17	14, 5, 15, 16	plymul 15666	. . 3 |- ( ph -> ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
18	2, 17, 15	plyadd 15665	. 2 |- ( ph -> ( F oF + ( ( CC X. { -u 1 } ) oF x. G ) ) e. (Poly ` S ) )
19	9, 18	eqeltrrd 2312	1 |- ( ph -> ( F oF - G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   {csn 3691   X. cxp 4749   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   oFcof 6266   CCcc 8130   1c1 8133   + caddc 8135   x. cmul 8137   - cmin 8449   -ucneg 8450  Polycply 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ply 15644

This theorem is referenced by:  plysubcl  15670