Theorem plybss 15836

Description: Reverse closure of the parameter 𝑆 of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem plybss

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑛 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 15833	. . 3 ⊢ Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
2	1	mptrcl 5788	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 3700	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {csn 3709   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922  ℂcc 8177  0cc0 8179   · cmul 8184  ℕ₀cn0 9565  ...cfz 10413  ↑cexp 10977  Σcsu 12121  Polycply 15831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ply 15833

This theorem is used by:  elply  15837  plyf  15840  plyssc  15842  plyaddlem  15852  plymullem  15853  plysub  15856  plycolemc  15861  plycjlemc  15863  plycn  15865  plyreres  15867