Theorem plyaddlem 15601

Description: Lemma for plyadd 15603. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyadd.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyadd.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyadd.a	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.b	|- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyadd.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plyaddlem	|- ( ph -> ( F oF + G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, B   x, F, y, z   S, k, x, y, z   x, A, y, z   x, G, y, z   ph, k, x, y, z   k, M, z   k, N, z

Allowed substitution hints:   A( k)   F( k)   G( k)   M( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem plyaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
3		plyadd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		plyadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		plyadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plybss 15585	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
8		0cnd 8263	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 3838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	7, 9	unssd 3394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 8247	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
12		ssexg 4248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 9498	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15		elmapg 6894	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5521	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		plyadd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		elmapg 6894	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
23	22, 10	fssd 5521	. . . 4 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
24		plyadd.a2	. . . 4 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
25		plyadd.b2	. . . 4 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
26		plyadd.f	. . . 4 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
27		plyadd.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plyaddlem1 15599	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
29	3	nn0zd 9694	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
30	4	nn0zd 9694	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
31		zdcle 9650	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> DECID M <_ N )
33	4, 3, 32	ifcldcd 3659	. . . 4 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. NN0 )
34		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( S u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } )
35		plyadd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
36	7, 34, 35	un0addcl 9525	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
37	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> NN0 e. _V )
38		inidm 3429	. . . . . 6 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
39	36, 17, 22, 37, 37, 38	off 6278	. . . . 5 |- ( ph -> ( A oF + B ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
40		elfznn0 10444	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 )
41		ffvelcdm 5809	. . . . 5 |- ( ( ( A oF + B ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
42	39, 40, 41	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
43	10, 33, 42	elplyd 15593	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
44	28, 43	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
45		plyun0 15588	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
46	44, 45	eleqtrdi 2325	1 |- ( ph -> ( F oF + G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   u. cun 3208   C_ wss 3210   ifcif 3619   {csn 3688   class class class wbr 4108   |-> cmpt 4170   "cima 4751   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   oFcof 6263   ^m cmap 6881   CCcc 8121   0cc0 8123   1c1 8124   + caddc 8126   x. cmul 8128   <_ cle 8305   NN0cn0 9492   ZZcz 9573   ZZ>=cuz 9849   ...cfz 10338   ^cexp 10896   sum_csu 12031  Polycply 15580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032  df-ply 15582

This theorem is referenced by:  plyadd  15603