Theorem elply 14880

Description: Definition of a polynomial with coefficients in S. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elply	|- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   S, a, n   k, a, z, n   F, a, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( z, k)

Proof of Theorem elply

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 14879	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
2		plyval 14878	. . . 4 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
3	2	eleq2d 2263	. . 3 |- ( S C_ CC -> ( F e. (Poly ` S ) <-> F e. { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } ) )
4		id 19	. . . . . . 7 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
5		cnex 7996	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
6	5	mptex 5784	. . . . . . 7 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. _V
7	4, 6	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F e. _V )
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F e. _V ) )
9	8	rexlimivv 2617	. . . 4 |- ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F e. _V )
10		eqeq1 2200	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
11	10	2rexbidv 2519	. . . 4 |- ( f = F -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
12	9, 11	elab3 2912	. . 3 |- ( F e. { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
13	3, 12	bitrdi 196	. 2 |- ( S C_ CC -> ( F e. (Poly ` S ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
14	1, 13	biadanii 613	1 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   {csn 3618   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^m cmap 6702   CCcc 7870   0cc0 7872   x. cmul 7877   NN0cn0 9240   ...cfz 10074   ^cexp 10609   sum_csu 11496  Polycply 14874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-i2m1 7977

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-inn 8983  df-n0 9241  df-ply 14876

This theorem is referenced by:  elply2  14881  plyun0  14882  plyf  14883  elplyr  14886