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Theorem plyf 14999
Description: A polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
Proof of Theorem plyf
Dummy variables a n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 14996 . . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
21simprbi 275 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
3 0zd 9341 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
4 simplrl 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> n e. NN0 )
54nn0zd 9449 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> n e. ZZ )
63, 5fzfigd 10526 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
7 plybss 14995 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
8 0cnd 8022 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. (Poly ` S ) -> 0 e. CC )
98snssd 3768 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> { 0 } C_ CC )
107, 9unssd 3340 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
1211adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
13 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
14 cnex 8006 . . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
15 ssexg 4173 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
1611, 14, 15sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17 nn0ex 9258 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
18 elmapg 6722 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
1916, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21 elfznn0 10192 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
22 ffvelcdm 5696 . . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
2320, 21, 22syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
2412, 23sseldd 3185 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
25 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
26 expcl 10652 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2725, 21, 26syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2824, 27mulcld 8050 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
296, 28fsumcl 11568 . . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
3029fmpttd 5718 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC )
31 feq1 5391 . . . 4 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( F : CC --> CC <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
3230, 31syl5ibrcom 157 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F : CC --> CC ) )
3332rexlimdvva 2622 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F : CC --> CC ) )
342, 33mpd 13 1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3623   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   ^m cmap 6709   CCcc 7880   0cc0 7882   x. cmul 7887   NN0cn0 9252   ...cfz 10086   ^cexp 10633   sum_csu 11521  Polycply 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-map 6711  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ply 14992
This theorem is referenced by:  plysub  15015  plycolemc  15020  plyco  15021  plyreres  15026  dvply2g  15028
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