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Theorem plyf 15376
Description: A polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
Proof of Theorem plyf
Dummy variables a n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 15373 . . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
21simprbi 275 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
3 0zd 9426 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
4 simplrl 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> n e. NN0 )
54nn0zd 9535 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> n e. ZZ )
63, 5fzfigd 10620 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
7 plybss 15372 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
8 0cnd 8107 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. (Poly ` S ) -> 0 e. CC )
98snssd 3792 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> { 0 } C_ CC )
107, 9unssd 3360 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
1211adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
13 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
14 cnex 8091 . . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
15 ssexg 4202 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
1611, 14, 15sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17 nn0ex 9343 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
18 elmapg 6778 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
1916, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21 elfznn0 10278 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
22 ffvelcdm 5741 . . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
2320, 21, 22syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
2412, 23sseldd 3205 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
25 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
26 expcl 10746 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2725, 21, 26syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2824, 27mulcld 8135 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
296, 28fsumcl 11877 . . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
3029fmpttd 5763 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC )
31 feq1 5432 . . . 4 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( F : CC --> CC <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
3230, 31syl5ibrcom 157 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F : CC --> CC ) )
3332rexlimdvva 2636 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F : CC --> CC ) )
342, 33mpd 13 1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   e. wcel 2180   E.wrex 2489   _Vcvv 2779   u. cun 3175   C_ wss 3177   {csn 3646   |-> cmpt 4124   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765   CCcc 7965   0cc0 7967   x. cmul 7972   NN0cn0 9337   ...cfz 10172   ^cexp 10727   sum_csu 11830  Polycply 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831  df-ply 15369
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