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Theorem plyf 15454
Description: A polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
Proof of Theorem plyf
Dummy variables a n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 15451 . . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
21simprbi 275 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
3 0zd 9484 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
4 simplrl 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> n e. NN0 )
54nn0zd 9593 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> n e. ZZ )
63, 5fzfigd 10686 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
7 plybss 15450 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
8 0cnd 8165 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. (Poly ` S ) -> 0 e. CC )
98snssd 3816 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> { 0 } C_ CC )
107, 9unssd 3381 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
1211adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
13 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
14 cnex 8149 . . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
15 ssexg 4226 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
1611, 14, 15sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17 nn0ex 9401 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
18 elmapg 6825 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
1916, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21 elfznn0 10342 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
22 ffvelcdm 5776 . . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
2320, 21, 22syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
2412, 23sseldd 3226 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
25 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
26 expcl 10812 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2725, 21, 26syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2824, 27mulcld 8193 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
296, 28fsumcl 11954 . . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
3029fmpttd 5798 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC )
31 feq1 5462 . . . 4 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( F : CC --> CC <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
3230, 31syl5ibrcom 157 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F : CC --> CC ) )
3332rexlimdvva 2656 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> F : CC --> CC ) )
342, 33mpd 13 1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   u. cun 3196   C_ wss 3198   {csn 3667   |-> cmpt 4148   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ^m cmap 6812   CCcc 8023   0cc0 8025   x. cmul 8030   NN0cn0 9395   ...cfz 10236   ^cexp 10793   sum_csu 11907  Polycply 15445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-ply 15447
This theorem is referenced by:  plysub  15470  plycolemc  15475  plyco  15476  plyreres  15481  dvply2g  15483
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