Theorem plymullem 14929

Description: Lemma for plymul 14931. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyadd.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyadd.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyadd.a	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.b	|- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyadd.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plymul.x	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plymullem	|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, B   x, F, y, z   S, k, x, y, z   x, A, y, z   x, G, y, z   ph, k, x, y, z   k, M, z   k, N, z, x, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   A( k)   F( k)   G( k)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
3		plyadd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		plyadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		plyadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plybss 14912	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
8		0cnd 8014	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 3764	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	7, 9	unssd 3336	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 7998	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
12		ssexg 4169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 9249	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15		elmapg 6717	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5417	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		plyadd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		elmapg 6717	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
23	22, 10	fssd 5417	. . . 4 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
24		plyadd.a2	. . . 4 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
25		plyadd.b2	. . . 4 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
26		plyadd.f	. . . 4 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
27		plyadd.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 14927	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
29	3, 4	nn0addcld 9300	. . . 4 |- ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
30	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
31		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( S u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } )
32		plyadd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	7, 31, 32	un0addcl 9276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
34	33	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
35		0zd 9332	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfzelz 10094	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
38	35, 37	fzfigd 10505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
39		elfznn0 10183	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
40		ffvelcdm 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
42		fznn0sub 10126	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
43		ffvelcdm 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
47	7, 31, 46	un0mulcl 9277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( S u. { 0 } ) )
48	47	caovclg 6073	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
50	49	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
51		ssun2 3324	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
52		c0ex 8015	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
53	52	snss 3754	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
55	54	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 11545	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
57	10, 29, 56	elplyd 14920	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
58	28, 57	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
59		plyun0 14915	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
60	58, 59	eleqtrdi 2286	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   C_ wss 3154   {csn 3619   |-> cmpt 4091   "cima 4663   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   oFcof 6130   ^m cmap 6704   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   ^cexp 10612   sum_csu 11499  Polycply 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ply 14909

This theorem is referenced by:  plymul  14931