Theorem plymullem 14986

Description: Lemma for plymul 14988. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyadd.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyadd.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyadd.a	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.b	|- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyadd.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plymul.x	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plymullem	|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, B   x, F, y, z   S, k, x, y, z   x, A, y, z   x, G, y, z   ph, k, x, y, z   k, M, z   k, N, z, x, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   A( k)   F( k)   G( k)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
3		plyadd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		plyadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		plyadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plybss 14969	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
8		0cnd 8019	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 3767	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	7, 9	unssd 3339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 8003	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
12		ssexg 4172	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 9255	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15		elmapg 6720	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5420	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		plyadd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		elmapg 6720	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
23	22, 10	fssd 5420	. . . 4 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
24		plyadd.a2	. . . 4 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
25		plyadd.b2	. . . 4 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
26		plyadd.f	. . . 4 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
27		plyadd.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 14984	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
29	3, 4	nn0addcld 9306	. . . 4 |- ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
30	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
31		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( S u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } )
32		plyadd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	7, 31, 32	un0addcl 9282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
34	33	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
35		0zd 9338	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfzelz 10100	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
38	35, 37	fzfigd 10523	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
39		elfznn0 10189	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
40		ffvelcdm 5695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
42		fznn0sub 10132	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
43		ffvelcdm 5695	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
47	7, 31, 46	un0mulcl 9283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( S u. { 0 } ) )
48	47	caovclg 6076	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
50	49	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
51		ssun2 3327	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
52		c0ex 8020	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
53	52	snss 3757	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
55	54	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 11564	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
57	10, 29, 56	elplyd 14977	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
58	28, 57	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
59		plyun0 14972	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
60	58, 59	eleqtrdi 2289	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3622   |-> cmpt 4094   "cima 4666   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   oFcof 6133   ^m cmap 6707   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   ^cexp 10630   sum_csu 11518  Polycply 14964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ply 14966

This theorem is referenced by:  plymul  14988