Theorem plymullem 15503

Description: Lemma for plymul 15505. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyadd.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyadd.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyadd.a	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.b	|- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyadd.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plymul.x	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plymullem	|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, B   x, F, y, z   S, k, x, y, z   x, A, y, z   x, G, y, z   ph, k, x, y, z   k, M, z   k, N, z, x, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   A( k)   F( k)   G( k)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
3		plyadd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		plyadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		plyadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plybss 15486	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
8		0cnd 8177	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 3819	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	7, 9	unssd 3382	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 8161	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
12		ssexg 4229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 9413	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15		elmapg 6835	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5497	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		plyadd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		elmapg 6835	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
23	22, 10	fssd 5497	. . . 4 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
24		plyadd.a2	. . . 4 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
25		plyadd.b2	. . . 4 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
26		plyadd.f	. . . 4 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
27		plyadd.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 15501	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
29	3, 4	nn0addcld 9464	. . . 4 |- ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
30	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
31		eqid 2230	. . . . . . 7 |- ( S u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } )
32		plyadd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	7, 31, 32	un0addcl 9440	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
34	33	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
35		0zd 9496	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfzelz 10265	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
38	35, 37	fzfigd 10699	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
39		elfznn0 10354	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
40		ffvelcdm 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
42		fznn0sub 10297	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
43		ffvelcdm 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
47	7, 31, 46	un0mulcl 9441	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( S u. { 0 } ) )
48	47	caovclg 6180	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
50	49	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
51		ssun2 3370	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
52		c0ex 8178	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
53	52	snss 3809	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
55	54	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 11983	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
57	10, 29, 56	elplyd 15494	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
58	28, 57	eqeltrd 2307	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
59		plyun0 15489	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
60	58, 59	eleqtrdi 2323	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   u. cun 3197   C_ wss 3199   {csn 3670   |-> cmpt 4151   "cima 4730   -->wf 5324   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   oFcof 6238   ^m cmap 6822   CCcc 8035   0cc0 8037   1c1 8038   + caddc 8040   x. cmul 8042   - cmin 8355   NN0cn0 9407   ZZcz 9484   ZZ>=cuz 9760   ...cfz 10248   ^cexp 10806   sum_csu 11936  Polycply 15481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-disj 4066  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-map 6824  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937  df-ply 15483

This theorem is referenced by:  plymul  15505