Theorem plymullem 15988

Description: Lemma for plymul 15990. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyadd.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyadd.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyadd.a	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.b	|- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyadd.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plymul.x	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plymullem	|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, B   x, F, y, z   S, k, x, y, z   x, A, y, z   x, G, y, z   ph, k, x, y, z   k, M, z   k, N, z, x, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   A( k)   F( k)   G( k)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
3		plyadd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		plyadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		plyadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plybss 15971	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
8		0cnd 8326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 3860	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	7, 9	unssd 3405	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 8310	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
12		ssexg 4274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 9581	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15		elmapg 6939	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5550	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		plyadd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		elmapg 6939	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
21	13, 14, 20	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
23	22, 10	fssd 5550	. . . 4 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
24		plyadd.a2	. . . 4 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
25		plyadd.b2	. . . 4 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
26		plyadd.f	. . . 4 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
27		plyadd.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 15986	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
29	3, 4	nn0addcld 9636	. . . 4 |- ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
30	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
31		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( S u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } )
32		plyadd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	7, 31, 32	un0addcl 9608	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
34	33	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
35		0zd 9668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfzelz 10446	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
38	35, 37	fzfigd 10890	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
39		elfznn0 10539	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
40		ffvelcdm 5844	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
42		fznn0sub 10481	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
43		ffvelcdm 5844	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
47	7, 31, 46	un0mulcl 9609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( S u. { 0 } ) )
48	47	caovclg 6245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
50	49	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
51		ssun2 3393	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
52		c0ex 8327	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
53	52	snss 3850	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
55	54	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 12192	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
57	10, 29, 56	elplyd 15979	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
58	28, 57	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
59		plyun0 15974	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
60	58, 59	eleqtrdi 2331	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   |-> cmpt 4193   "cima 4779   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   ^m cmap 6926   CCcc 8184   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   - cmin 8505   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   ...cfz 10429   ^cexp 10997   sum_csu 12145  Polycply 15966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ply 15968

This theorem is used by:  plymul  15990