Theorem plymullem 15266

Description: Lemma for plymul 15268. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyadd.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyadd.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyadd.a	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.b	|- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyadd.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyadd.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyadd.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plymul.x	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plymullem	|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, B   x, F, y, z   S, k, x, y, z   x, A, y, z   x, G, y, z   ph, k, x, y, z   k, M, z   k, N, z, x, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   A( k)   F( k)   G( k)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		plyadd.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
3		plyadd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		plyadd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		plyadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plybss 15249	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
8		0cnd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 3780	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	7, 9	unssd 3350	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 8056	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
12		ssexg 4187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 9308	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15		elmapg 6755	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5444	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		plyadd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		elmapg 6755	. . . . . . 7 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
23	22, 10	fssd 5444	. . . 4 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
24		plyadd.a2	. . . 4 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
25		plyadd.b2	. . . 4 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
26		plyadd.f	. . . 4 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
27		plyadd.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 15264	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
29	3, 4	nn0addcld 9359	. . . 4 |- ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
30	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
31		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( S u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } )
32		plyadd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	7, 31, 32	un0addcl 9335	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
34	33	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x + y ) e. ( S u. { 0 } ) )
35		0zd 9391	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfzelz 10154	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
38	35, 37	fzfigd 10583	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
39		elfznn0 10243	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
40		ffvelcdm 5720	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
42		fznn0sub 10186	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
43		ffvelcdm 5720	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
47	7, 31, 46	un0mulcl 9336	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S u. { 0 } ) /\ y e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( S u. { 0 } ) )
48	47	caovclg 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( B ` ( n - k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
50	49	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
51		ssun2 3338	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
52		c0ex 8073	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
53	52	snss 3770	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
55	54	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 11754	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
57	10, 29, 56	elplyd 15257	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
58	28, 57	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
59		plyun0 15252	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
60	58, 59	eleqtrdi 2299	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   u. cun 3165   C_ wss 3167   {csn 3634   |-> cmpt 4109   "cima 4682   -->wf 5272   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   oFcof 6163   ^m cmap 6742   CCcc 7930   0cc0 7932   1c1 7933   + caddc 7935   x. cmul 7937   - cmin 8250   NN0cn0 9302   ZZcz 9379   ZZ>=cuz 9655   ...cfz 10137   ^cexp 10690   sum_csu 11708  Polycply 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-disj 4024  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-map 6744  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-ply 15246

This theorem is referenced by:  plymul  15268