Theorem plycolemc 15549

Description: Lemma for plyco 15550. The result expressed as a sum, with a degree and coefficients for F specified as hypotheses. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyco.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyco.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyco.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyco.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
plycolemc.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plycolemc.a	|- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
plycolemc.z	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plycolemc.f	|- ( ph -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plycolemc	|- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   k, G, z   A, k   k, N   x, A, y, z, k   x, G, y   z, N   x, S, y   ph, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( x, y, z, k)   N( x, y)

Proof of Theorem plycolemc

Dummy variables d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycolemc.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 11987	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
4	3	mpteq2dv 4185	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
5	4	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
7		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = d -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... d ) )
8	7	sumeq1d 11987	. . . . . 6 |- ( w = d -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
9	8	mpteq2dv 4185	. . . . 5 |- ( w = d -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
10	9	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( w = d -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = d -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
12		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... ( d + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 11987	. . . . . 6 |- ( w = ( d + 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
14	13	mpteq2dv 4185	. . . . 5 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
15	14	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
17		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... N ) )
18	17	sumeq1d 11987	. . . . . 6 |- ( w = N -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
19	18	mpteq2dv 4185	. . . . 5 |- ( w = N -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
20	19	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
22		0z 9533	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
23		plyco.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
24		plyf 15528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : CC --> CC )
26	25	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
27	26	exp0d 10973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ 0 ) = 1 )
28	27	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) = ( ( A ` 0 ) x. 1 ) )
29		plyco.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
30		plybss 15524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ CC )
32		0cnd 8215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. CC )
33	32	snssd 3823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
34	31, 33	unssd 3385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
35		plycolemc.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
36		0nn0 9460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. NN0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
38	35, 37	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
39	34, 38	sseldd 3229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
41	40	mulridd 8239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. 1 ) = ( A ` 0 ) )
42	28, 41	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) = ( A ` 0 ) )
43	42, 40	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) e. CC )
44		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( A ` k ) = ( A ` 0 ) )
45		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( G ` z ) ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ 0 ) )
46	44, 45	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
47	46	fsum1 12034	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
48	22, 43, 47	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
49	48, 42	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( A ` 0 ) )
50	49	mpteq2dva 4184	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( A ` 0 ) ) )
51		fconstmpt 4779	. . . . 5 |- ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` 0 ) )
52	50, 51	eqtr4di 2282	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) )
53		plyconst 15536	. . . . . 6 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ ( A ` 0 ) e. ( S u. { 0 } ) ) -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
54	34, 38, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
55		plyun0 15527	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
56	54, 55	eleqtrdi 2324	. . . 4 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` S ) )
57	52, 56	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
58		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
59	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
60		peano2nn0 9485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN0 )
61		ffvelcdm 5788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( d + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
62	35, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
63		plyconst 15536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
65	64, 55	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` S ) )
66		nn0p1nn 9484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
67		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = 1 -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ 1 ) )
68	67	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = 1 -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) )
69	68	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = 1 -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) ) )
70	69	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
71		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = d -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ d ) )
72	71	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = d -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) )
73	72	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = d -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) )
74	73	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = d -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
75		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) )
76	75	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
77	76	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
78	77	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
79	26	exp1d 10974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ 1 ) = ( G ` z ) )
80	79	mpteq2dva 4184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
81	25	feqmptd 5708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
82	80, 81	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) = G )
83	82, 23	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) )
84		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) )
85	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
86		plyco.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
87	86	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
88		plyco.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
89	88	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
90	84, 85, 87, 89	plymul 15543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
91	90	expr 375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
92		cnex 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC e. _V
93	92	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
94	26	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
95		nnnn0 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
96	95	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> d e. NN0 )
97	94, 96	expcld 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ d ) e. CC )
98	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G : CC --> CC )
99	98	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
100		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) )
101	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
102	93, 97, 99, 100, 101	offval2 6260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) ) )
103	94, 96	expp1d 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) )
104	103	mpteq2dva 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) ) )
105	102, 104	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
106	105	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
107	91, 106	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
108	107	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
109	108	a2d 26	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
110	70, 74, 78, 78, 83, 109	nnind 9202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d + 1 ) e. NN -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
111	66, 110	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
112	111	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) )
113	86	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
114	88	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
115	65, 112, 113, 114	plymul 15543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
116	115	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
117	86	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
118	58, 116, 117	plyadd 15542	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
119	118	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
120	92	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> CC e. _V )
121		0zd 9534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
122		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. NN0 )
123	122	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. ZZ )
124	121, 123	fzfigd 10737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ... d ) e. Fin )
125	29, 55	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
126		plybss 15524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
127	125, 126	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
128	127	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
129	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
130		elfznn0 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... d ) -> k e. NN0 )
131	130	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> k e. NN0 )
132	129, 131	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
133	128, 132	sseldd 3229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
134	26	ad4ant13 513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
135	134, 131	expcld 10979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) e. CC )
136	133, 135	mulcld 8243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
137	124, 136	fsumcl 12022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
138	127	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
139	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
140	138, 139	sseldd 3229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. CC )
141	26	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
142	60	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( d + 1 ) e. NN0 )
143	141, 142	expcld 10979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) e. CC )
144	140, 143	mulcld 8243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. CC )
145		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
146		fconstmpt 4779	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` ( d + 1 ) ) )
147	146	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` ( d + 1 ) ) ) )
148		eqidd 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
149	120, 139, 143, 147, 148	offval2 6260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
150	120, 137, 144, 145, 149	offval2 6260	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) )
151		nn0uz 9834	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
152	122, 151	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153	138	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
154	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
155		elfznn0 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) -> k e. NN0 )
156	155	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
157	154, 156	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
158	153, 157	sseldd 3229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
159	141	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
160	159, 156	expcld 10979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) e. CC )
161	158, 160	mulcld 8243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
162		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( d + 1 ) ) )
163		oveq2 6036	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
165	152, 161, 164	fsump1 12042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
166	165	mpteq2dva 4184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) )
167	150, 166	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
168	167	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
169	119, 168	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
170	169	expcom 116	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
171	170	a2d 26	. . 3 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) -> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
172	6, 11, 16, 21, 57, 171	nn0ind 9637	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
173	1, 172	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   "cima 4734   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   oFcof 6242   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   ^cexp 10844   sum_csu 11974  Polycply 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ply 15521

This theorem is referenced by:  plyco  15550