Theorem plycolemc 15397

Description: Lemma for plyco 15398. The result expressed as a sum, with a degree and coefficients for F specified as hypotheses. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyco.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyco.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyco.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyco.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
plycolemc.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plycolemc.a	|- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
plycolemc.z	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plycolemc.f	|- ( ph -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plycolemc	|- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   k, G, z   A, k   k, N   x, A, y, z, k   x, G, y   z, N   x, S, y   ph, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( x, y, z, k)   N( x, y)

Proof of Theorem plycolemc

Dummy variables d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycolemc.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 11843	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
4	3	mpteq2dv 4154	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
5	4	eleq1d 2278	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
7		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = d -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... d ) )
8	7	sumeq1d 11843	. . . . . 6 |- ( w = d -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
9	8	mpteq2dv 4154	. . . . 5 |- ( w = d -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
10	9	eleq1d 2278	. . . 4 |- ( w = d -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = d -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
12		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... ( d + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 11843	. . . . . 6 |- ( w = ( d + 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
14	13	mpteq2dv 4154	. . . . 5 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
15	14	eleq1d 2278	. . . 4 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
17		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... N ) )
18	17	sumeq1d 11843	. . . . . 6 |- ( w = N -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
19	18	mpteq2dv 4154	. . . . 5 |- ( w = N -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
20	19	eleq1d 2278	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
22		0z 9425	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
23		plyco.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
24		plyf 15376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : CC --> CC )
26	25	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
27	26	exp0d 10856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ 0 ) = 1 )
28	27	oveq2d 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) = ( ( A ` 0 ) x. 1 ) )
29		plyco.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
30		plybss 15372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ CC )
32		0cnd 8107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. CC )
33	32	snssd 3792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
34	31, 33	unssd 3360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
35		plycolemc.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
36		0nn0 9352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. NN0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
38	35, 37	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
39	34, 38	sseldd 3205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
41	40	mulridd 8131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. 1 ) = ( A ` 0 ) )
42	28, 41	eqtrd 2242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) = ( A ` 0 ) )
43	42, 40	eqeltrd 2286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) e. CC )
44		fveq2 5603	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( A ` k ) = ( A ` 0 ) )
45		oveq2 5982	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( G ` z ) ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ 0 ) )
46	44, 45	oveq12d 5992	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
47	46	fsum1 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
48	22, 43, 47	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
49	48, 42	eqtrd 2242	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( A ` 0 ) )
50	49	mpteq2dva 4153	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( A ` 0 ) ) )
51		fconstmpt 4743	. . . . 5 |- ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` 0 ) )
52	50, 51	eqtr4di 2260	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) )
53		plyconst 15384	. . . . . 6 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ ( A ` 0 ) e. ( S u. { 0 } ) ) -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
54	34, 38, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
55		plyun0 15375	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
56	54, 55	eleqtrdi 2302	. . . 4 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` S ) )
57	52, 56	eqeltrd 2286	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
58		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
59	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
60		peano2nn0 9377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN0 )
61		ffvelcdm 5741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( d + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
62	35, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
63		plyconst 15384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
65	64, 55	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` S ) )
66		nn0p1nn 9376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
67		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = 1 -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ 1 ) )
68	67	mpteq2dv 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = 1 -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) )
69	68	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = 1 -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) ) )
70	69	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
71		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = d -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ d ) )
72	71	mpteq2dv 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = d -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) )
73	72	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = d -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) )
74	73	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = d -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
75		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) )
76	75	mpteq2dv 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
77	76	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
78	77	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
79	26	exp1d 10857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ 1 ) = ( G ` z ) )
80	79	mpteq2dva 4153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
81	25	feqmptd 5660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
82	80, 81	eqtr4d 2245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) = G )
83	82, 23	eqeltrd 2286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) )
84		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) )
85	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
86		plyco.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
87	86	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
88		plyco.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
89	88	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
90	84, 85, 87, 89	plymul 15391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
91	90	expr 375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
92		cnex 8091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC e. _V
93	92	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
94	26	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
95		nnnn0 9344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
96	95	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> d e. NN0 )
97	94, 96	expcld 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ d ) e. CC )
98	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G : CC --> CC )
99	98	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
100		eqidd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) )
101	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
102	93, 97, 99, 100, 101	offval2 6204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) ) )
103	94, 96	expp1d 10863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) )
104	103	mpteq2dva 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) ) )
105	102, 104	eqtr4d 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
106	105	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
107	91, 106	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
108	107	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
109	108	a2d 26	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
110	70, 74, 78, 78, 83, 109	nnind 9094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d + 1 ) e. NN -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
111	66, 110	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
112	111	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) )
113	86	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
114	88	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
115	65, 112, 113, 114	plymul 15391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
116	115	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
117	86	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
118	58, 116, 117	plyadd 15390	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
119	118	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
120	92	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> CC e. _V )
121		0zd 9426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
122		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. NN0 )
123	122	nn0zd 9535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. ZZ )
124	121, 123	fzfigd 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ... d ) e. Fin )
125	29, 55	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
126		plybss 15372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
127	125, 126	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
128	127	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
129	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
130		elfznn0 10278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... d ) -> k e. NN0 )
131	130	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> k e. NN0 )
132	129, 131	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
133	128, 132	sseldd 3205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
134	26	ad4ant13 513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
135	134, 131	expcld 10862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) e. CC )
136	133, 135	mulcld 8135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
137	124, 136	fsumcl 11877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
138	127	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
139	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
140	138, 139	sseldd 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. CC )
141	26	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
142	60	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( d + 1 ) e. NN0 )
143	141, 142	expcld 10862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) e. CC )
144	140, 143	mulcld 8135	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. CC )
145		eqidd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
146		fconstmpt 4743	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` ( d + 1 ) ) )
147	146	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` ( d + 1 ) ) ) )
148		eqidd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
149	120, 139, 143, 147, 148	offval2 6204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
150	120, 137, 144, 145, 149	offval2 6204	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) )
151		nn0uz 9725	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
152	122, 151	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153	138	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
154	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
155		elfznn0 10278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) -> k e. NN0 )
156	155	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
157	154, 156	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
158	153, 157	sseldd 3205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
159	141	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
160	159, 156	expcld 10862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) e. CC )
161	158, 160	mulcld 8135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
162		fveq2 5603	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( d + 1 ) ) )
163		oveq2 5982	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) )
164	162, 163	oveq12d 5992	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
165	152, 161, 164	fsump1 11897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
166	165	mpteq2dva 4153	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) )
167	150, 166	eqtr4d 2245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
168	167	eleq1d 2278	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
169	119, 168	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
170	169	expcom 116	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
171	170	a2d 26	. . 3 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) -> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
172	6, 11, 16, 21, 57, 171	nn0ind 9529	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
173	1, 172	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   _Vcvv 2779   u. cun 3175   C_ wss 3177   {csn 3646   |-> cmpt 4124   X. cxp 4694   "cima 4699   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   oFcof 6186   CCcc 7965   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   x. cmul 7972   NNcn 9078   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   ...cfz 10172   ^cexp 10727   sum_csu 11830  Polycply 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-disj 4039  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831  df-ply 15369

This theorem is referenced by:  plyco  15398