Theorem plycolemc 15842

Description: Lemma for plyco 15843. The result expressed as a sum, with a degree and coefficients for F specified as hypotheses. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyco.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyco.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyco.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyco.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
plycolemc.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plycolemc.a	|- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
plycolemc.z	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plycolemc.f	|- ( ph -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plycolemc	|- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   k, G, z   A, k   k, N   x, A, y, z, k   x, G, y   z, N   x, S, y   ph, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( x, y, z, k)   N( x, y)

Proof of Theorem plycolemc

Dummy variables d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycolemc.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		oveq2 6087	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... 0 ) )
3	2	sumeq1d 12115	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
4	3	mpteq2dv 4220	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
7		oveq2 6087	. . . . . . 7 |- ( w = d -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... d ) )
8	7	sumeq1d 12115	. . . . . 6 |- ( w = d -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
9	8	mpteq2dv 4220	. . . . 5 |- ( w = d -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
10	9	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = d -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = d -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
12		oveq2 6087	. . . . . . 7 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... ( d + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 12115	. . . . . 6 |- ( w = ( d + 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
14	13	mpteq2dv 4220	. . . . 5 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
15	14	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
17		oveq2 6087	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( 0 ... w ) = ( 0 ... N ) )
18	17	sumeq1d 12115	. . . . . 6 |- ( w = N -> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
19	18	mpteq2dv 4220	. . . . 5 |- ( w = N -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
20	19	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... w ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
22		0z 9638	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
23		plyco.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
24		plyf 15821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : CC --> CC )
26	25	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
27	26	exp0d 11088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ 0 ) = 1 )
28	27	oveq2d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) = ( ( A ` 0 ) x. 1 ) )
29		plyco.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
30		plybss 15817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ CC )
32		0cnd 8313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. CC )
33	32	snssd 3858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
34	31, 33	unssd 3405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
35		plycolemc.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
36		0nn0 9561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. NN0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
38	35, 37	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
39	34, 38	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
41	40	mulridd 8337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. 1 ) = ( A ` 0 ) )
42	28, 41	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) = ( A ` 0 ) )
43	42, 40	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) e. CC )
44		fveq2 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( A ` k ) = ( A ` 0 ) )
45		oveq2 6087	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( G ` z ) ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ 0 ) )
46	44, 45	oveq12d 6097	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
47	46	fsum1 12162	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
48	22, 43, 47	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( G ` z ) ^ 0 ) ) )
49	48, 42	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( A ` 0 ) )
50	49	mpteq2dva 4219	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( A ` 0 ) ) )
51		fconstmpt 4820	. . . . 5 |- ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` 0 ) )
52	50, 51	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) )
53		plyconst 15829	. . . . . 6 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ ( A ` 0 ) e. ( S u. { 0 } ) ) -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
54	34, 38, 53	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
55		plyun0 15820	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
56	54, 55	eleqtrdi 2331	. . . 4 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` 0 ) } ) e. (Poly ` S ) )
57	52, 56	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
58		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
59	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
60		peano2nn0 9586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN0 )
61		ffvelcdm 5835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( d + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
62	35, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
63		plyconst 15829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
65	64, 55	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) e. (Poly ` S ) )
66		nn0p1nn 9585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
67		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = 1 -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ 1 ) )
68	67	mpteq2dv 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = 1 -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) )
69	68	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = 1 -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) ) )
70	69	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
71		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = d -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ d ) )
72	71	mpteq2dv 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = d -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) )
73	72	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = d -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) )
74	73	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = d -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
75		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( G ` z ) ^ w ) = ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) )
76	75	mpteq2dv 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
77	76	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
78	77	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ w ) ) e. (Poly ` S ) ) <-> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
79	26	exp1d 11089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ 1 ) = ( G ` z ) )
80	79	mpteq2dva 4219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
81	25	feqmptd 5753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
82	80, 81	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) = G )
83	82, 23	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ 1 ) ) e. (Poly ` S ) )
84		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) )
85	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
86		plyco.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
87	86	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
88		plyco.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
89	88	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
90	84, 85, 87, 89	plymul 15836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( d e. NN /\ ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
91	90	expr 375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
92		cnex 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC e. _V
93	92	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
94	26	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
95		nnnn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
96	95	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> d e. NN0 )
97	94, 96	expcld 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ d ) e. CC )
98	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G : CC --> CC )
99	98	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
100		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) )
101	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
102	93, 97, 99, 100, 101	offval2 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) ) )
103	94, 96	expp1d 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) )
104	103	mpteq2dva 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( ( G ` z ) ^ d ) x. ( G ` z ) ) ) )
105	102, 104	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
106	105	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) oF x. G ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
107	91, 106	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
108	107	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
109	108	a2d 26	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ d ) ) e. (Poly ` S ) ) -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
110	70, 74, 78, 78, 83, 109	nnind 9303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d + 1 ) e. NN -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
111	66, 110	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
112	111	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. (Poly ` S ) )
113	86	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
114	88	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
115	65, 112, 113, 114	plymul 15836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
116	115	adantrr 483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
117	86	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
118	58, 116, 117	plyadd 15835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) )
119	118	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
120	92	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> CC e. _V )
121		0zd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
122		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. NN0 )
123	122	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. ZZ )
124	121, 123	fzfigd 10851	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ... d ) e. Fin )
125	29, 55	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
126		plybss 15817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
127	125, 126	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
128	127	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
129	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
130		elfznn0 10504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... d ) -> k e. NN0 )
131	130	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> k e. NN0 )
132	129, 131	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
133	128, 132	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
134	26	ad4ant13 517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
135	134, 131	expcld 11094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) e. CC )
136	133, 135	mulcld 8340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... d ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
137	124, 136	fsumcl 12150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
138	127	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
139	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
140	138, 139	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( A ` ( d + 1 ) ) e. CC )
141	26	adantlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
142	60	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( d + 1 ) e. NN0 )
143	141, 142	expcld 11094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) e. CC )
144	140, 143	mulcld 8340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) e. CC )
145		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
146		fconstmpt 4820	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` ( d + 1 ) ) )
147	146	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) = ( z e. CC |-> ( A ` ( d + 1 ) ) ) )
148		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
149	120, 139, 143, 147, 148	offval2 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
150	120, 137, 144, 145, 149	offval2 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) )
151		nn0uz 9940	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
152	122, 151	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> d e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153	138	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
154	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
155		elfznn0 10504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) -> k e. NN0 )
156	155	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
157	154, 156	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
158	153, 157	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
159	141	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
160	159, 156	expcld 11094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) e. CC )
161	158, 160	mulcld 8340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) e. CC )
162		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( d + 1 ) ) )
163		oveq2 6087	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( ( G ` z ) ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6097	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( d + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
165	152, 161, 164	fsump1 12170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
166	165	mpteq2dva 4219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) + ( ( A ` ( d + 1 ) ) x. ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) )
167	150, 166	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
168	167	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) oF + ( ( CC X. { ( A ` ( d + 1 ) ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( ( G ` z ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) ) e. (Poly ` S ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
169	119, 168	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
170	169	expcom 116	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
171	170	a2d 26	. . 3 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... d ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) -> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( d + 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) ) )
172	6, 11, 16, 21, 57, 171	nn0ind 9743	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) ) )
173	1, 172	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3708   |-> cmpt 4190   X. cxp 4770   "cima 4775   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   oFcof 6294   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   NNcn 9287   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394   ^cexp 10958   sum_csu 12102  Polycply 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ply 15814

This theorem is referenced by:  plyco  15843