Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw1nel3 GIF version

Theorem pw1nel3 7149
 Description: Negated excluded middle implies that the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
pw1nel3 EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 3o)

Proof of Theorem pw1nel3
StepHypRef Expression
1 pw1ne0 7146 . . . . 5 𝒫 1o ≠ ∅
2 pw1ne1 7147 . . . . 5 𝒫 1o ≠ 1o
31, 2nelpri 3584 . . . 4 ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
43a1i 9 . . 3 EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
5 df2o3 6371 . . . 4 2o = {∅, 1o}
65eleq2i 2224 . . 3 (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
74, 6sylnibr 667 . 2 EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 2o)
8 exmidpweq 6847 . . . 4 (EXMID ↔ 𝒫 1o = 2o)
98notbii 658 . . 3 EXMID ↔ ¬ 𝒫 1o = 2o)
10 1oex 6365 . . . . . 6 1o ∈ V
1110pwex 4143 . . . . 5 𝒫 1o ∈ V
1211elsn 3576 . . . 4 (𝒫 1o ∈ {2o} ↔ 𝒫 1o = 2o)
1312notbii 658 . . 3 (¬ 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ ¬ 𝒫 1o = 2o)
149, 13sylbb2 137 . 2 EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ {2o})
15 df-3o 6359 . . . . . . 7 3o = suc 2o
16 df-suc 4330 . . . . . . 7 suc 2o = (2o ∪ {2o})
1715, 16eqtri 2178 . . . . . 6 3o = (2o ∪ {2o})
1817eleq2i 2224 . . . . 5 (𝒫 1o ∈ 3o ↔ 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
19 elun 3248 . . . . 5 (𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (𝒫 1o ∈ 2o ∨ 𝒫 1o ∈ {2o}))
2018, 19bitri 183 . . . 4 (𝒫 1o ∈ 3o ↔ (𝒫 1o ∈ 2o ∨ 𝒫 1o ∈ {2o}))
2120notbii 658 . . 3 (¬ 𝒫 1o ∈ 3o ↔ ¬ (𝒫 1o ∈ 2o ∨ 𝒫 1o ∈ {2o}))
22 ioran 742 . . 3 (¬ (𝒫 1o ∈ 2o ∨ 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ 𝒫 1o ∈ {2o}))
2321, 22bitri 183 . 2 (¬ 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ 𝒫 1o ∈ {2o}))
247, 14, 23sylanbrc 414 1 EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 3o)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  {csn 3560  {cpr 3561  EXMIDwem 4154  suc csuc 4324  1oc1o 6350  2oc2o 6351  3oc3o 6352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-exmid 4155  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-1o 6357  df-2o 6358  df-3o 6359 This theorem is referenced by:  sucpw1ne3  7150  sucpw1nss3  7153
 Copyright terms: Public domain W3C validator