Theorem imasrng 13512

Description: The image structure of a non-unital ring is a non-unital ring (imasring 13620 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrng.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasrng.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasrng.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasrng.t	|- .x. = ( .r ` R )
imasrng.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasrng.e1	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasrng.e2	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )

Assertion

Ref	Expression
imasrng	|- ( ph -> U e. Rng )

Distinct variable groups:   .+ , p, q   ph, a, b, p, q   U, a, b, p, q   B, a, b, p, q   F, a, b, p, q   R, a, b, p, q   V, a, b, p, q   .x. , p, q

Allowed substitution hints:   .+ ( a, b)   .x. ( a, b)

Proof of Theorem imasrng

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrng.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasrng.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasrng.f	. . 3 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasrng.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Rng )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 12950	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2197	. 2 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		eqidd 2197	. 2 |- ( ph -> ( .r ` U ) = ( .r ` U ) )
8		imasrng.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
10		imasrng.e1	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
11		rngabl 13491	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Abel )
13		eqid 2196	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14	1, 2, 9, 3, 10, 12, 13	imasabl 13466	. . 3 |- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
15	14	simpld 112	. 2 |- ( ph -> U e. Abel )
16		imasrng.e2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
17		imasrng.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
18		eqid 2196	. . . 4 |- ( .r ` U ) = ( .r ` U )
19	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> R e. Rng )
20		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. V )
21	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
22	20, 21	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. ( Base ` R ) )
23		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. V )
24	23, 21	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. ( Base ` R ) )
25		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26	25, 17	rngcl 13500	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
27	19, 22, 24, 26	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
28	27, 21	eleqtrrd 2276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. V )
29	28	caovclg 6076	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
30	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29	imasmulf 12965	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B )
31	30	fovcld 6027	. 2 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
32		forn 5483	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F = B )
34	33	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
35	33	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
36	33	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
37	34, 35, 36	3anbi123d 1323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
38		fofn 5482	. . . . . . 7 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
39		fvelrnb 5608	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
40		fvelrnb 5608	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
41		fvelrnb 5608	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
42	39, 40, 41	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
43	3, 38, 42	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
44	37, 43	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
45		3reeanv 2668	. . . . 5 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
46	44, 45	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Rng )
48		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. V )
49	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> V = ( Base ` R ) )
50	48, 49	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
51	50	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
52		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. V )
53	52, 49	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. ( Base ` R ) )
54	53	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
55		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
56	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
57	55, 56	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
58	25, 17	rngass 13495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Rng /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
59	47, 51, 54, 57, 58	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
60	59	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
61		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
62	28	caovclg 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
63	62	3adantr3 1160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
64	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
65	61, 63, 55, 64	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
66		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
67	28	caovclg 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
68	67	3adantr1 1158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
69	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
70	61, 66, 68, 69	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
71	60, 65, 70	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
72	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
73	72	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
74	73	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
75	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
76	75	3adant3r1 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
77	76	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
78	71, 74, 77	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
79		simp1 999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
80		simp2 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
81	79, 80	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( .r ` U ) v ) )
82		simp3 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
83	81, 82	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
84	80, 82	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( .r ` U ) w ) )
85	79, 84	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
86	83, 85	eqeq12d 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
87	78, 86	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
88	87	3exp2 1227	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
89	88	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
90	89	rexlimdv 2613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
91	90	rexlimdvva 2622	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
92	46, 91	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
93	92	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
94	25, 8, 17	rngdi 13496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Rng /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
95	47, 51, 54, 57, 94	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
96	95	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
97	25, 8	rngacl 13498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Rng /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
98	19, 22, 24, 97	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
99	98, 21	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. V )
100	99	caovclg 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
101	100	3adantr1 1158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
102	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
103	61, 66, 101, 102	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
104	28	caovclg 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
105	104	3adantr2 1159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
106		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
107	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 12961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ ( x .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
108	61, 63, 105, 107	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
109	96, 103, 108	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
110	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 12961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
111	110	3adant3r1 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
112	111	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
113	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
114	113	3adant3r2 1215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
115	73, 114	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
116	109, 112, 115	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
117	80, 82	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
118	79, 117	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
119	79, 82	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( u ( .r ` U ) w ) )
120	81, 119	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
121	118, 120	eqeq12d 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
122	116, 121	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
123	122	3exp2 1227	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
124	123	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
125	124	rexlimdv 2613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
126	125	rexlimdvva 2622	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
127	46, 126	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
128	127	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
129	25, 8, 17	rngdir 13497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Rng /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
130	47, 51, 54, 57, 129	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
131	130	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
132	99	caovclg 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
133	132	3adantr3 1160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
134	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 12964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
135	61, 133, 55, 134	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
136	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 12961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .x. z ) e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
137	61, 105, 68, 136	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
138	131, 135, 137	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
139	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 12961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
140	139	3adant3r3 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
141	140	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
142	114, 76	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
143	138, 141, 142	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
144	79, 80	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
145	144, 82	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
146	119, 84	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
147	145, 146	eqeq12d 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
148	143, 147	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
149	148	3exp2 1227	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
150	149	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
151	150	rexlimdv 2613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
152	151	rexlimdvva 2622	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
153	46, 152	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
154	153	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
155	5, 6, 7, 15, 31, 93, 128, 154	isrngd 13509	1 |- ( ph -> U e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   0gc0g 12927   "_s cimas 12942   Abelcabl 13415  Rngcrng 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-iimas 12945  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489

This theorem is referenced by:  imasrngf1  13513  qusrng  13514