Theorem imasrng 14230

Description: The image structure of a non-unital ring is a non-unital ring (imasring 14342 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrng.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasrng.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasrng.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasrng.t	|- .x. = ( .r ` R )
imasrng.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasrng.e1	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasrng.e2	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )

Assertion

Ref	Expression
imasrng	|- ( ph -> U e. Rng )

Distinct variable groups:   .+ , p, q   ph, a, b, p, q   U, a, b, p, q   B, a, b, p, q   F, a, b, p, q   R, a, b, p, q   V, a, b, p, q   .x. , p, q

Allowed substitution hints:   .+ ( a, b)   .x. ( a, b)

Proof of Theorem imasrng

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrng.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasrng.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasrng.f	. . 3 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasrng.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Rng )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 13605	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( .r ` U ) = ( .r ` U ) )
8		imasrng.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
10		imasrng.e1	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
11		rngabl 14209	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Abel )
13		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14	1, 2, 9, 3, 10, 12, 13	imasabl 14117	. . 3 |- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
15	14	simpld 112	. 2 |- ( ph -> U e. Abel )
16		imasrng.e2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
17		imasrng.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
18		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` U ) = ( .r ` U )
19	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> R e. Rng )
20		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. V )
21	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
22	20, 21	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. ( Base ` R ) )
23		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. V )
24	23, 21	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. ( Base ` R ) )
25		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26	25, 17	rngcl 14218	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
27	19, 22, 24, 26	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
28	27, 21	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. V )
29	28	caovclg 6232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
30	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29	imasmulf 13620	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B )
31	30	fovcld 6183	. 2 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
32		forn 5613	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F = B )
34	33	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
35	33	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
36	33	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
37	34, 35, 36	3anbi123d 1353	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
38		fofn 5612	. . . . . . 7 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
39		fvelrnb 5744	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
40		fvelrnb 5744	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
41		fvelrnb 5744	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
42	39, 40, 41	3anbi123d 1353	. . . . . . 7 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
43	3, 38, 42	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
44	37, 43	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
45		3reeanv 2722	. . . . 5 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
46	44, 45	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Rng )
48		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. V )
49	2	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> V = ( Base ` R ) )
50	48, 49	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
51	50	3adant3r3 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
52		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. V )
53	52, 49	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. ( Base ` R ) )
54	53	3adant3r3 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
55		simpr3 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
56	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
57	55, 56	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
58	25, 17	rngass 14213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Rng /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
59	47, 51, 54, 57, 58	syl13anc 1280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
60	59	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
61		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
62	28	caovclg 6232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
63	62	3adantr3 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
64	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
65	61, 63, 55, 64	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
66		simpr1 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
67	28	caovclg 6232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
68	67	3adantr1 1187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
69	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
70	61, 66, 68, 69	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
71	60, 65, 70	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
72	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
73	72	3adant3r3 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
74	73	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
75	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
76	75	3adant3r1 1243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
77	76	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
78	71, 74, 77	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
79		simp1 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
80		simp2 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
81	79, 80	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( .r ` U ) v ) )
82		simp3 1030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
83	81, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
84	80, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( .r ` U ) w ) )
85	79, 84	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
86	83, 85	eqeq12d 2253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
87	78, 86	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
88	87	3exp2 1256	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
89	88	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
90	89	rexlimdv 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
91	90	rexlimdvva 2676	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
92	46, 91	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
93	92	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
94	25, 8, 17	rngdi 14214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Rng /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
95	47, 51, 54, 57, 94	syl13anc 1280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
96	95	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
97	25, 8	rngacl 14216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Rng /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
98	19, 22, 24, 97	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
99	98, 21	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. V )
100	99	caovclg 6232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
101	100	3adantr1 1187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
102	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
103	61, 66, 101, 102	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
104	28	caovclg 6232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
105	104	3adantr2 1188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
106		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
107	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 13616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ ( x .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
108	61, 63, 105, 107	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
109	96, 103, 108	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
110	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 13616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
111	110	3adant3r1 1243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
112	111	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
113	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
114	113	3adant3r2 1244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
115	73, 114	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
116	109, 112, 115	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
117	80, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
118	79, 117	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
119	79, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( u ( .r ` U ) w ) )
120	81, 119	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
121	118, 120	eqeq12d 2253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
122	116, 121	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
123	122	3exp2 1256	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
124	123	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
125	124	rexlimdv 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
126	125	rexlimdvva 2676	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
127	46, 126	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
128	127	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
129	25, 8, 17	rngdir 14215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Rng /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
130	47, 51, 54, 57, 129	syl13anc 1280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
131	130	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
132	99	caovclg 6232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
133	132	3adantr3 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
134	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 13619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
135	61, 133, 55, 134	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
136	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 13616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x .x. z ) e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
137	61, 105, 68, 136	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
138	131, 135, 137	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
139	3, 10, 1, 2, 4, 8, 106	imasaddval 13616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
140	139	3adant3r3 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
141	140	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
142	114, 76	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
143	138, 141, 142	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
144	79, 80	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
145	144, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
146	119, 84	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
147	145, 146	eqeq12d 2253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
148	143, 147	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
149	148	3exp2 1256	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
150	149	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
151	150	rexlimdv 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
152	151	rexlimdvva 2676	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
153	46, 152	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
154	153	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
155	5, 6, 7, 15, 31, 93, 128, 154	isrngd 14227	1 |- ( ph -> U e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   ran crn 4770   Fn wfn 5367   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409   0gc0g 13587   "_s cimas 13599   Abelcabl 14065  Rngcrng 14206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-iimas 13601  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-cmn 14066  df-abl 14067  df-mgp 14195  df-rng 14207

This theorem is referenced by:  imasrngf1  14231  qusrng  14232