Theorem rpaddcld 9741

Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpaddcl 9706	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160  (class class class)co 5895   + caddc 7843   RR+crp 9682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-rp 9683

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11058  iooref1o  15236