Theorem rpaddcl 9591

Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpaddcl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9574	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpre 9574	. . 3 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
3		readdcl 7861	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR )
5		elrp 9569	. . 3 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
6		elrp 9569	. . 3 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
7		addgt0 8328	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A + B ) )
8	7	an4s 578	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A + B ) )
9	5, 6, 8	syl2anb 289	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 0 < ( A + B ) )
10		elrp 9569	. 2 |- ( ( A + B ) e. RR+ <-> ( ( A + B ) e. RR /\ 0 < ( A + B ) ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827   RRcr 7734   0cc0 7735   + caddc 7738   < clt 7915   RR+crp 9567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-i2m1 7840  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-xp 4595  df-iota 5138  df-fv 5181  df-ov 5830  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-ltxr 7920  df-rp 9568

This theorem is referenced by:  rpaddcld  9626  fsumrpcl  11313  isumrpcl  11403  efgt1p2  11604