Theorem rpge0 9862

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	|- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9856	. 2 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpgt0 9861	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3		0re 8146	. . 3 |- 0 e. RR
4		ltle 8234	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
6	1, 2, 5	sylc 62	1 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   0cc0 7999   < clt 8181   <_ cle 8182   RR+crp 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-rp 9850

This theorem is referenced by:  rprege0  9864  rpge0d  9896  rpsqrtcl  11552  ef01bndlem  12267  bdmet  15176  rpcxpsqrt  15596  rpcxpsqrtth  15604