ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpge0 GIF version

Theorem rpge0 9482
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 9476 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgt0 9481 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3 0re 7789 . . 3 0 ∈ ℝ
4 ltle 7874 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
53, 4mpan 421 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
61, 2, 5sylc 62 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481   class class class wbr 3936  cr 7642  0cc0 7643   < clt 7823  cle 7824  +crp 9469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1re 7737  ax-addrcl 7740  ax-rnegex 7752  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-lttrn 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-rp 9470
This theorem is referenced by:  rprege0  9484  rpge0d  9516  rpsqrtcl  10844  ef01bndlem  11497  bdmet  12708  rpcxpsqrt  13048  rpcxpsqrtth  13056
  Copyright terms: Public domain W3C validator