Theorem sbthlem7 6651

Description: Lemma for isbth 6655. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlem7	|- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5041	. . 3 |- ( Fun f -> Fun ( f |` U. D ) )
2		funres 5041	. . 3 |- ( Fun `' g -> Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmres 4721	. . . . . . . . 9 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
4		inss1 3218	. . . . . . . . 9 |- ( U. D i^i dom f ) C_ U. D
5	3, 4	eqsstri 3054	. . . . . . . 8 |- dom ( f |` U. D ) C_ U. D
6		ssrin 3223	. . . . . . . 8 |- ( dom ( f |` U. D ) C_ U. D -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
8		dmres 4721	. . . . . . . . 9 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
9		inss1 3218	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) C_ ( A \ U. D )
10	8, 9	eqsstri 3054	. . . . . . . 8 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D )
11		sslin 3224	. . . . . . . 8 |- ( dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D ) -> ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) )
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
13	7, 12	sstri 3032	. . . . . 6 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
14		disjdif 3352	. . . . . 6 |- ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) = (/)
15	13, 14	sseqtri 3056	. . . . 5 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/)
16		ss0 3320	. . . . 5 |- ( ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/) -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) )
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/)
18		funun 5044	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) /\ ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
19	17, 18	mpan2 416	. . 3 |- ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
20	1, 2, 19	syl2an 283	. 2 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
21		sbthlem.3	. . 3 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22	21	funeqi 5022	. 2 |- ( Fun H <-> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 132	1 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   {cab 2074   _Vcvv 2619   \ cdif 2994   u. cun 2995   i^i cin 2996   C_ wss 2997   (/)c0 3284   U.cuni 3648   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   |` cres 4430   "cima 4431   Fun wfun 4996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-res 4440  df-fun 5004

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6653