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Theorem sbthlem7 6955
Description: Lemma for isbth 6959. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem7  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7
StepHypRef Expression
1 funres 5252 . . 3  |-  ( Fun  f  ->  Fun  ( f  |`  U. D ) )
2 funres 5252 . . 3  |-  ( Fun  `' g  ->  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
3 dmres 4923 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
4 inss1 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( U. D  i^i  dom  f )  C_ 
U. D
53, 4eqsstri 3187 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  |`  U. D ) 
C_  U. D
6 ssrin 3360 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  C_  U. D  -> 
( dom  ( f  |` 
U. D )  i^i 
dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) )
8 dmres 4923 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
9 inss1 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  C_  ( A  \ 
U. D )
108, 9eqsstri 3187 . . . . . . . 8  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) 
C_  ( A  \  U. D )
11 sslin 3361 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) )  C_  ( A  \  U. D )  ->  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
137, 12sstri 3164 . . . . . 6  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
14 disjdif 3495 . . . . . 6  |-  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )  =  (/)
1513, 14sseqtri 3189 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  (/)
16 ss0 3463 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  C_  (/)  ->  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/)
18 funun 5255 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )  /\  ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
1917, 18mpan2 425 . . 3  |-  ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 289 . 2  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
21 sbthlem.3 . . 3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2221funeqi 5232 . 2  |-  ( Fun 
H  <->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) ) )
2320, 22sylibr 134 1  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127    i^i cin 3128    C_ wss 3129   (/)c0 3422   U.cuni 3807   `'ccnv 4621   dom cdm 4622    |` cres 4624   "cima 4625   Fun wfun 5205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-res 4634  df-fun 5213
This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6957
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