Theorem sbthlem7 7153

Description: Lemma for isbth 7157. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlem7	|- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5365	. . 3 |- ( Fun f -> Fun ( f |` U. D ) )
2		funres 5365	. . 3 |- ( Fun `' g -> Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmres 5032	. . . . . . . . 9 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
4		inss1 3425	. . . . . . . . 9 |- ( U. D i^i dom f ) C_ U. D
5	3, 4	eqsstri 3257	. . . . . . . 8 |- dom ( f |` U. D ) C_ U. D
6		ssrin 3430	. . . . . . . 8 |- ( dom ( f |` U. D ) C_ U. D -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
8		dmres 5032	. . . . . . . . 9 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
9		inss1 3425	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) C_ ( A \ U. D )
10	8, 9	eqsstri 3257	. . . . . . . 8 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D )
11		sslin 3431	. . . . . . . 8 |- ( dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D ) -> ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
13	7, 12	sstri 3234	. . . . . 6 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
14		disjdif 3565	. . . . . 6 |- ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) = (/)
15	13, 14	sseqtri 3259	. . . . 5 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/)
16		ss0 3533	. . . . 5 |- ( ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/) -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/)
18		funun 5368	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) /\ ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
19	17, 18	mpan2 425	. . 3 |- ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
20	1, 2, 19	syl2an 289	. 2 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
21		sbthlem.3	. . 3 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22	21	funeqi 5345	. 2 |- ( Fun H <-> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 134	1 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   U.cuni 3891   `'ccnv 4722   dom cdm 4723   |` cres 4725   "cima 4726   Fun wfun 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-fun 5326

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  7155