Theorem sbthlem7 7233

Description: Lemma for isbth 7237. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlem7	|- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5393	. . 3 |- ( Fun f -> Fun ( f |` U. D ) )
2		funres 5393	. . 3 |- ( Fun `' g -> Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmres 5059	. . . . . . . . 9 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
4		inss1 3441	. . . . . . . . 9 |- ( U. D i^i dom f ) C_ U. D
5	3, 4	eqsstri 3270	. . . . . . . 8 |- dom ( f |` U. D ) C_ U. D
6		ssrin 3446	. . . . . . . 8 |- ( dom ( f |` U. D ) C_ U. D -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
8		dmres 5059	. . . . . . . . 9 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
9		inss1 3441	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) C_ ( A \ U. D )
10	8, 9	eqsstri 3270	. . . . . . . 8 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D )
11		sslin 3447	. . . . . . . 8 |- ( dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D ) -> ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
13	7, 12	sstri 3247	. . . . . 6 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
14		disjdif 3581	. . . . . 6 |- ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) = (/)
15	13, 14	sseqtri 3272	. . . . 5 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/)
16		ss0 3549	. . . . 5 |- ( ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/) -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/)
18		funun 5397	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) /\ ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
19	17, 18	mpan2 425	. . 3 |- ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
20	1, 2, 19	syl2an 289	. 2 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
21		sbthlem.3	. . 3 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22	21	funeqi 5373	. 2 |- ( Fun H <-> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 134	1 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   U.cuni 3914   `'ccnv 4748   dom cdm 4749   |` cres 4751   "cima 4752   Fun wfun 5346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-res 4761  df-fun 5354

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  7235