Theorem sbthlem7 6851

Description: Lemma for isbth 6855. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlem7	|- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5164	. . 3 |- ( Fun f -> Fun ( f |` U. D ) )
2		funres 5164	. . 3 |- ( Fun `' g -> Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmres 4840	. . . . . . . . 9 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
4		inss1 3296	. . . . . . . . 9 |- ( U. D i^i dom f ) C_ U. D
5	3, 4	eqsstri 3129	. . . . . . . 8 |- dom ( f |` U. D ) C_ U. D
6		ssrin 3301	. . . . . . . 8 |- ( dom ( f |` U. D ) C_ U. D -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
8		dmres 4840	. . . . . . . . 9 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
9		inss1 3296	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) C_ ( A \ U. D )
10	8, 9	eqsstri 3129	. . . . . . . 8 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D )
11		sslin 3302	. . . . . . . 8 |- ( dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D ) -> ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
13	7, 12	sstri 3106	. . . . . 6 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
14		disjdif 3435	. . . . . 6 |- ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) = (/)
15	13, 14	sseqtri 3131	. . . . 5 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/)
16		ss0 3403	. . . . 5 |- ( ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/) -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/)
18		funun 5167	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) /\ ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
19	17, 18	mpan2 421	. . 3 |- ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
20	1, 2, 19	syl2an 287	. 2 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
21		sbthlem.3	. . 3 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22	21	funeqi 5144	. 2 |- ( Fun H <-> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 133	1 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   u. cun 3069   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   U.cuni 3736   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   |` cres 4541   "cima 4542   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-fun 5125

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6853