Theorem sbthlem7 6900

Description: Lemma for isbth 6904. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlem7	|- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5208	. . 3 |- ( Fun f -> Fun ( f |` U. D ) )
2		funres 5208	. . 3 |- ( Fun `' g -> Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmres 4884	. . . . . . . . 9 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
4		inss1 3327	. . . . . . . . 9 |- ( U. D i^i dom f ) C_ U. D
5	3, 4	eqsstri 3160	. . . . . . . 8 |- dom ( f |` U. D ) C_ U. D
6		ssrin 3332	. . . . . . . 8 |- ( dom ( f |` U. D ) C_ U. D -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
8		dmres 4884	. . . . . . . . 9 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
9		inss1 3327	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) C_ ( A \ U. D )
10	8, 9	eqsstri 3160	. . . . . . . 8 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D )
11		sslin 3333	. . . . . . . 8 |- ( dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) C_ ( A \ U. D ) -> ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( U. D i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
13	7, 12	sstri 3137	. . . . . 6 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ ( U. D i^i ( A \ U. D ) )
14		disjdif 3466	. . . . . 6 |- ( U. D i^i ( A \ U. D ) ) = (/)
15	13, 14	sseqtri 3162	. . . . 5 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/)
16		ss0 3434	. . . . 5 |- ( ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) C_ (/) -> ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/)
18		funun 5211	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) /\ ( dom ( f |` U. D ) i^i dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = (/) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
19	17, 18	mpan2 422	. . 3 |- ( ( Fun ( f |` U. D ) /\ Fun ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
20	1, 2, 19	syl2an 287	. 2 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
21		sbthlem.3	. . 3 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22	21	funeqi 5188	. 2 |- ( Fun H <-> Fun ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 133	1 |- ( ( Fun f /\ Fun `' g ) -> Fun H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   _Vcvv 2712   \ cdif 3099   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   U.cuni 3772   `'ccnv 4582   dom cdm 4583   |` cres 4585   "cima 4586   Fun wfun 5161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-res 4595  df-fun 5169

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6902