Theorem inss1 3424

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	|- ( A i^i B ) C_ A

Proof of Theorem inss1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3387	. . 3 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
2	1	simplbi 274	. 2 |- ( x e. ( A i^i B ) -> x e. A )
3	2	ssriv 3228	1 |- ( A i^i B ) C_ A

Syntax hints:   e. wcel 2200   i^i cin 3196   C_ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  inss2  3425  ssinss1  3433  unabs  3435  inssddif  3445  inv1  3528  disjdif  3564  inundifss  3569  relin1  4837  resss  5029  resmpt3  5054  cnvcnvss  5183  funin  5392  funimass2  5399  fnresin1  5438  fnres  5440  fresin  5506  ssimaex  5697  fneqeql2  5746  fnfvimad  5879  isoini2  5949  ofrfval  6233  ofvalg  6234  ofrval  6235  off  6237  ofres  6239  ofco  6243  smores  6444  smores2  6446  tfrlem5  6466  pmresg  6831  unfiin  7099  infidc  7112  sbthlem7  7141  peano5nnnn  8090  peano5nni  9124  rexanuz  11515  nninfdclemcl  13035  nninfdclemp1  13037  fvsetsid  13082  tgvalex  13312  tgval2  14741  eltg3  14747  tgcl  14754  tgdom  14762  tgidm  14764  epttop  14780  ntropn  14807  ntrin  14814  cnptopresti  14928  cnptoprest  14929  txcnmpt  14963  xmetres  15072  metres  15073  blin2  15122  metrest  15196  tgioo  15244  limcresi  15356  2sqlem8  15818  bj-charfun  16253  bj-charfundc  16254  bj-charfundcALT  16255