Theorem inss1 3296

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	|- ( A i^i B ) C_ A

Proof of Theorem inss1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3259	. . 3 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
2	1	simplbi 272	. 2 |- ( x e. ( A i^i B ) -> x e. A )
3	2	ssriv 3101	1 |- ( A i^i B ) C_ A

Syntax hints:   e. wcel 1480   i^i cin 3070   C_ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  inss2  3297  ssinss1  3305  unabs  3307  inssddif  3317  inv1  3399  disjdif  3435  inundifss  3440  relin1  4657  resss  4843  resmpt3  4868  cnvcnvss  4993  funin  5194  funimass2  5201  fnresin1  5237  fnres  5239  fresin  5301  ssimaex  5482  fneqeql2  5529  isoini2  5720  ofrfval  5990  ofvalg  5991  ofrval  5992  off  5994  ofres  5996  ofco  6000  smores  6189  smores2  6191  tfrlem5  6211  pmresg  6570  unfiin  6814  sbthlem7  6851  peano5nnnn  7700  peano5nni  8723  rexanuz  10760  fvsetsid  11993  tgvalex  12219  tgval2  12220  eltg3  12226  tgcl  12233  tgdom  12241  tgidm  12243  epttop  12259  ntropn  12286  ntrin  12293  cnptopresti  12407  cnptoprest  12408  txcnmpt  12442  xmetres  12551  metres  12552  blin2  12601  metrest  12675  tgioo  12715  limcresi  12804