Theorem inss1 3401

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	|- ( A i^i B ) C_ A

Proof of Theorem inss1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3364	. . 3 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
2	1	simplbi 274	. 2 |- ( x e. ( A i^i B ) -> x e. A )
3	2	ssriv 3205	1 |- ( A i^i B ) C_ A

Syntax hints:   e. wcel 2178   i^i cin 3173   C_ wss 3174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187

This theorem is referenced by:  inss2  3402  ssinss1  3410  unabs  3412  inssddif  3422  inv1  3505  disjdif  3541  inundifss  3546  relin1  4811  resss  5002  resmpt3  5027  cnvcnvss  5156  funin  5364  funimass2  5371  fnresin1  5410  fnres  5412  fresin  5476  ssimaex  5663  fneqeql2  5712  isoini2  5911  ofrfval  6190  ofvalg  6191  ofrval  6192  off  6194  ofres  6196  ofco  6200  smores  6401  smores2  6403  tfrlem5  6423  pmresg  6786  unfiin  7049  infidc  7062  sbthlem7  7091  peano5nnnn  8040  peano5nni  9074  rexanuz  11414  nninfdclemcl  12934  nninfdclemp1  12936  fvsetsid  12981  tgvalex  13210  tgval2  14638  eltg3  14644  tgcl  14651  tgdom  14659  tgidm  14661  epttop  14677  ntropn  14704  ntrin  14711  cnptopresti  14825  cnptoprest  14826  txcnmpt  14860  xmetres  14969  metres  14970  blin2  15019  metrest  15093  tgioo  15141  limcresi  15253  2sqlem8  15715  bj-charfun  15942  bj-charfundc  15943  bj-charfundcALT  15944