Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbthlem7 GIF version

Theorem sbthlem7 6844
 Description: Lemma for isbth 6848. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1 𝐴 ∈ V
sbthlem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthlem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
sbthlem7 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑔) → Fun 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑓   𝑥,𝑔   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthlem7
StepHypRef Expression
1 funres 5159 . . 3 (Fun 𝑓 → Fun (𝑓 𝐷))
2 funres 5159 . . 3 (Fun 𝑔 → Fun (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
3 dmres 4835 . . . . . . . . 9 dom (𝑓 𝐷) = ( 𝐷 ∩ dom 𝑓)
4 inss1 3291 . . . . . . . . 9 ( 𝐷 ∩ dom 𝑓) ⊆ 𝐷
53, 4eqsstri 3124 . . . . . . . 8 dom (𝑓 𝐷) ⊆ 𝐷
6 ssrin 3296 . . . . . . . 8 (dom (𝑓 𝐷) ⊆ 𝐷 → (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ( 𝐷 ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ( 𝐷 ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
8 dmres 4835 . . . . . . . . 9 dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) = ((𝐴 𝐷) ∩ dom 𝑔)
9 inss1 3291 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐷) ∩ dom 𝑔) ⊆ (𝐴 𝐷)
108, 9eqsstri 3124 . . . . . . . 8 dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐷)
11 sslin 3297 . . . . . . . 8 (dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐷) → ( 𝐷 ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ( 𝐷 ∩ (𝐴 𝐷)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 ( 𝐷 ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ( 𝐷 ∩ (𝐴 𝐷))
137, 12sstri 3101 . . . . . 6 (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ( 𝐷 ∩ (𝐴 𝐷))
14 disjdif 3430 . . . . . 6 ( 𝐷 ∩ (𝐴 𝐷)) = ∅
1513, 14sseqtri 3126 . . . . 5 (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ∅
16 ss0 3398 . . . . 5 ((dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ⊆ ∅ → (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) = ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) = ∅
18 funun 5162 . . . 4 (((Fun (𝑓 𝐷) ∧ Fun (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∧ (dom (𝑓 𝐷) ∩ dom (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) = ∅) → Fun ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))))
1917, 18mpan2 421 . . 3 ((Fun (𝑓 𝐷) ∧ Fun (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) → Fun ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))))
201, 2, 19syl2an 287 . 2 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑔) → Fun ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))))
21 sbthlem.3 . . 3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
2221funeqi 5139 . 2 (Fun 𝐻 ↔ Fun ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))))
2320, 22sylibr 133 1 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑔) → Fun 𝐻)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  Vcvv 2681   ∖ cdif 3063   ∪ cun 3064   ∩ cin 3065   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358  ∪ cuni 3731  ◡ccnv 4533  dom cdm 4534   ↾ cres 4536   “ cima 4537  Fun wfun 5112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-res 4546  df-fun 5120 This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6846
 Copyright terms: Public domain W3C validator