ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srg0cl Unicode version

Theorem srg0cl 13165
Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srg0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srg0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
srg0cl  |-  ( R  e. SRing  ->  .0.  e.  B
)

Proof of Theorem srg0cl
StepHypRef Expression
1 srgmnd 13155 . 2  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
2 srg0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 srg0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3mndidcl 12836 . 2  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 14 1  |-  ( R  e. SRing  ->  .0.  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5218   Basecbs 12464   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822  SRingcsrg 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-cmn 13095  df-srg 13152
This theorem is referenced by:  srgisid  13174  srgen1zr  13176  srglmhm  13181  srgrmhm  13182
  Copyright terms: Public domain W3C validator