Theorem srg0cl 13980

Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg0cl.b	|- B = ( Base ` R )
srg0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
srg0cl	|- ( R e. SRing -> .0. e. B )

Proof of Theorem srg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13970	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2		srg0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		srg0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	mndidcl 13503	. 2 |- ( R e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. SRing -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324   Basecbs 13072   0gc0g 13329   Mndcmnd 13489  SRingcsrg 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-cmn 13863  df-srg 13967

This theorem is referenced by:  srgisid  13989  srgen1zr  13991  srglmhm  13996  srgrmhm  13997