Theorem srg0cl 13809

Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg0cl.b	|- B = ( Base ` R )
srg0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
srg0cl	|- ( R e. SRing -> .0. e. B )

Proof of Theorem srg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13799	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2		srg0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		srg0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	mndidcl 13332	. 2 |- ( R e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. SRing -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5279   Basecbs 12902   0gc0g 13158   Mndcmnd 13318  SRingcsrg 13795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1re 8034  ax-addrcl 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-cmn 13692  df-srg 13796

This theorem is referenced by:  srgisid  13818  srgen1zr  13820  srglmhm  13825  srgrmhm  13826