ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprlubex GIF version

Theorem suprlubex 8476
Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprubex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubex.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
suprlubex (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprlubex
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprlubex.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 lttri3 7628 . . . 4 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
32adantl 272 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4 suprubex.ex . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
5 ltso 7626 . . . 4 < Or ℝ
65a1i 9 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ)
7 suprubex.ss . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
83, 4, 6, 7suplub2ti 6752 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
91, 8mpdan 413 1 (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361  wss 3002   class class class wbr 3853   Or wor 4133  supcsup 6733  cr 7412   < clt 7585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-iota 4995  df-riota 5624  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-ltxr 7590
This theorem is referenced by:  suprnubex  8477  suprzclex  8907
  Copyright terms: Public domain W3C validator