Theorem tfrlemiex 6180

Description: Lemma for tfrlemi1 6181. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemiex	|- ( ph -> E. f ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, u, w, x, y, z, A   f, F, g, h, u, w, x, y, z   ph, w, y   u, B, w, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, u, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemiex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
3		tfrlemi1.3	. . . 4 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
4		tfrlemi1.4	. . . 4 |- ( ph -> x e. On )
5		tfrlemi1.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibex 6178	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
7		uniexg 4319	. . 3 |- ( B e. _V -> U. B e. _V )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. B e. _V )
9	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibfn 6177	. . 3 |- ( ph -> U. B Fn x )
10	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemiubacc 6179	. . 3 |- ( ph -> A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) )
11	9, 10	jca 302	. 2 |- ( ph -> ( U. B Fn x /\ A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) )
12		fneq1 5167	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( f Fn x <-> U. B Fn x ) )
13		fveq1 5372	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( f ` u ) = ( U. B ` u ) )
14		reseq1 4769	. . . . . . 7 |- ( f = U. B -> ( f |` u ) = ( U. B |` u ) )
15	14	fveq2d 5377	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( F ` ( f |` u ) ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2127	. . . . 5 |- ( f = U. B -> ( ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) <-> ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) )
17	16	ralbidv 2409	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) <-> A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 462	. . 3 |- ( f = U. B -> ( ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) <-> ( U. B Fn x /\ A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) ) )
19	18	spcegv 2743	. 2 |- ( U. B e. _V -> ( ( U. B Fn x /\ A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) ) )
20	8, 11, 19	sylc 62	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 943   A.wal 1310   = wceq 1312   E.wex 1449   e. wcel 1461   {cab 2099   A.wral 2388   E.wrex 2389   _Vcvv 2655   u. cun 3033   {csn 3491   <.cop 3494   U.cuni 3700   Oncon0 4243   |` cres 4499   Fun wfun 5073   Fn wfn 5074   ` cfv 5079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-recs 6154

This theorem is referenced by:  tfrlemi1  6181