Theorem tfrlemibex 6277

Description: The set 𝐵 exists. Lemma for tfrlemi1 6280. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
tfrlemisucfn.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥(Fun 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
tfrlemi1.3	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑔(𝑔 Fn 𝑧 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐹‘𝑔)⟩}))}
tfrlemi1.4	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ On)
tfrlemi1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑔(𝑔 Fn 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑧 (𝑔‘𝑤) = (𝐹‘(𝑔 ↾ 𝑤))))

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝐵,𝑓,𝑔,ℎ,𝑧   𝜑,𝑔,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tfrlemibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
2		tfrlemisucfn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(Fun 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
3		tfrlemi1.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑔(𝑔 Fn 𝑧 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐹‘𝑔)⟩}))}
4		tfrlemi1.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ On)
5		tfrlemi1.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑔(𝑔 Fn 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑧 (𝑔‘𝑤) = (𝐹‘(𝑔 ↾ 𝑤))))
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibfn 6276	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 Fn 𝑥)
7		vex 2715	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		fnex 5690	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐵 Fn 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ V) → ∪ 𝐵 ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancl 410	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ∈ V)
10		uniexb 4434	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963  ∀wal 1333   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  {cab 2143  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  Vcvv 2712   ∪ cun 3100  {csn 3560  ⟨cop 3563  ∪ cuni 3773  Oncon0 4324   ↾ cres 4589  Fun wfun 5165   Fn wfn 5166  ‘cfv 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-recs 6253

This theorem is referenced by:  tfrlemiex  6279