Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tx1cn Unicode version

Theorem tx1cn 12629
 Description: Continuity of the first projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx1cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx1cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6101 . . 3
21a1i 9 . 2 TopOn TopOn
3 ffn 5316 . . . . . . . 8
4 elpreima 5583 . . . . . . . 8
51, 3, 4mp2b 8 . . . . . . 7
6 fvres 5489 . . . . . . . . . 10
76eleq1d 2226 . . . . . . . . 9
8 1st2nd2 6117 . . . . . . . . . 10
9 xp2nd 6108 . . . . . . . . . 10
10 elxp6 6111 . . . . . . . . . . . 12
11 anass 399 . . . . . . . . . . . 12
12 an32 552 . . . . . . . . . . . 12
1310, 11, 123bitr2i 207 . . . . . . . . . . 11
1413baib 905 . . . . . . . . . 10
158, 9, 14syl2anc 409 . . . . . . . . 9
167, 15bitr4d 190 . . . . . . . 8
1716pm5.32i 450 . . . . . . 7
185, 17bitri 183 . . . . . 6
19 toponss 12384 . . . . . . . . . 10 TopOn
2019adantlr 469 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
21 xpss1 4693 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
2322sseld 3127 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2423pm4.71rd 392 . . . . . 6 TopOn TopOn
2518, 24bitr4id 198 . . . . 5 TopOn TopOn
2625eqrdv 2155 . . . 4 TopOn TopOn
27 toponmax 12383 . . . . . 6 TopOn
2827ad2antlr 481 . . . . 5 TopOn TopOn
29 txopn 12625 . . . . . 6 TopOn TopOn
3029anassrs 398 . . . . 5 TopOn TopOn
3128, 30mpdan 418 . . . 4 TopOn TopOn
3226, 31eqeltrd 2234 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2530 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 12622 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 simpl 108 . . 3 TopOn TopOn TopOn
36 iscn 12557 . . 3 TopOn TopOn
3734, 35, 36syl2anc 409 . 2 TopOn TopOn
382, 33, 37mpbir2and 929 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435   wss 3102  cop 3563   cxp 4581  ccnv 4582   cres 4585  cima 4586   wfn 5162  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  c1st 6080  c2nd 6081  TopOnctopon 12368   ccn 12545   ctx 12612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-topgen 12332  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cn 12548  df-tx 12613 This theorem is referenced by:  txcn  12635  cnmpt1st  12648
 Copyright terms: Public domain W3C validator