Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tx1cn Unicode version

Theorem tx1cn 12344
 Description: Continuity of the first projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx1cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx1cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6023 . . 3
21a1i 9 . 2 TopOn TopOn
3 toponss 12099 . . . . . . . . . 10 TopOn
43adantlr 466 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
5 xpss1 4617 . . . . . . . . 9
64, 5syl 14 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
76sseld 3064 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87pm4.71rd 389 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 ffn 5240 . . . . . . . 8
10 elpreima 5505 . . . . . . . 8
111, 9, 10mp2b 8 . . . . . . 7
12 fvres 5411 . . . . . . . . . 10
1312eleq1d 2184 . . . . . . . . 9
14 1st2nd2 6039 . . . . . . . . . 10
15 xp2nd 6030 . . . . . . . . . 10
16 elxp6 6033 . . . . . . . . . . . 12
17 anass 396 . . . . . . . . . . . 12
18 an32 534 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 183bitr2i 207 . . . . . . . . . . 11
2019baib 887 . . . . . . . . . 10
2114, 15, 20syl2anc 406 . . . . . . . . 9
2213, 21bitr4d 190 . . . . . . . 8
2322pm5.32i 447 . . . . . . 7
2411, 23bitri 183 . . . . . 6
258, 24syl6rbbr 198 . . . . 5 TopOn TopOn
2625eqrdv 2113 . . . 4 TopOn TopOn
27 toponmax 12098 . . . . . 6 TopOn
2827ad2antlr 478 . . . . 5 TopOn TopOn
29 txopn 12340 . . . . . 6 TopOn TopOn
3029anassrs 395 . . . . 5 TopOn TopOn
3128, 30mpdan 415 . . . 4 TopOn TopOn
3226, 31eqeltrd 2192 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2480 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 12337 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 simpl 108 . . 3 TopOn TopOn TopOn
36 iscn 12272 . . 3 TopOn TopOn
3734, 35, 36syl2anc 406 . 2 TopOn TopOn
382, 33, 37mpbir2and 911 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1314   wcel 1463  wral 2391   wss 3039  cop 3498   cxp 4505  ccnv 4506   cres 4509  cima 4510   wfn 5086  wf 5087  cfv 5091  (class class class)co 5740  c1st 6002  c2nd 6003  TopOnctopon 12083   ccn 12260   ctx 12327 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-map 6510  df-topgen 12047  df-top 12071  df-topon 12084  df-bases 12116  df-cn 12263  df-tx 12328 This theorem is referenced by:  txcn  12350  cnmpt1st  12363
 Copyright terms: Public domain W3C validator