Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrrd.2	|- ( ph -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrrd.2	. . 3 |- ( ph -> C = B )
3	2	eqcomd 2244	. 2 |- ( ph -> B = C )
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5953  tfrlemiubacc  6601  tfr1onlemubacc  6617  tfrcllemubacc  6630  rdgivallem  6652  nnnninf  7467  nninfwlpoimlemg  7516  ccatass  11392  swrdval2  11439  dfphi2  13021  ctinf  13373  imasaddfnlemg  13688  imasaddvallemg  13689  subsubm  13843  subsubg  14053  cntzmhm2  14168  subsubrng  14606  subsubrg  14637  lidlss  14897  toponss  15218  ssntr  15314  iscnp3  15395  cnprcl2k  15398  tgcn  15400  tgcnp  15401  ssidcn  15402  cncnp  15422  txcnp  15463  imasnopn  15491  hmeontr  15505  blssec  15630  blssopn  15677  xmettx  15702  metcnp  15704  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plycoeid3  15949  nnsf  17214  nninfsellemsuc  17221