Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrrd.2	|- ( ph -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrrd.2	. . 3 |- ( ph -> C = B )
3	2	eqcomd 2244	. 2 |- ( ph -> B = C )
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5956  tfrlemiubacc  6605  tfr1onlemubacc  6621  tfrcllemubacc  6634  rdgivallem  6656  nnnninf  7472  nninfwlpoimlemg  7521  ccatass  11398  swrdval2  11445  dfphi2  13027  ctinf  13379  imasaddfnlemg  13694  imasaddvallemg  13695  subsubm  13849  subsubg  14059  cntzmhm2  14174  subsubrng  14631  subsubrg  14662  lidlss  14922  toponss  15252  ssntr  15348  iscnp3  15429  cnprcl2k  15432  tgcn  15434  tgcnp  15435  ssidcn  15436  cncnp  15456  txcnp  15497  imasnopn  15525  hmeontr  15539  blssec  15664  blssopn  15711  xmettx  15736  metcnp  15738  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plycoeid3  15983  nnsf  17254  nninfsellemsuc  17261