Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrrd.2	|- ( ph -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrrd.2	. . 3 |- ( ph -> C = B )
3	2	eqcomd 2244	. 2 |- ( ph -> B = C )
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5953  tfrlemiubacc  6601  tfr1onlemubacc  6617  tfrcllemubacc  6630  rdgivallem  6652  nnnninf  7466  nninfwlpoimlemg  7515  ccatass  11376  swrdval2  11423  dfphi2  12998  ctinf  13321  imasaddfnlemg  13635  imasaddvallemg  13636  subsubm  13790  subsubg  14000  subsubrng  14522  subsubrg  14553  lidlss  14813  toponss  15127  ssntr  15223  iscnp3  15304  cnprcl2k  15307  tgcn  15309  tgcnp  15310  ssidcn  15311  cncnp  15331  txcnp  15372  imasnopn  15400  hmeontr  15414  blssec  15539  blssopn  15586  xmettx  15611  metcnp  15613  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plycoeid3  15858  nnsf  17048  nninfsellemsuc  17055